n k 1
2、满足基本要求的样本容量
虽然当 n k 1 时可以得到参数估计 量，但除了参数估计量质量不好以外，一些建 立模型所必须的后续工作也无法进行。经验表 明，当 n k 8 时 t 分布较为稳定，检验才较 为有效。所以，一般经验认为，当 n 30 或者 至少 n 3( k 1) 时，才能满足模型估计的基 本要求。
个单
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位。
三、参数估计量的性质
1、线性性
( X X)1 X Y B
2、无偏性
ˆ) B E( B
证：
ˆ ( X X ) 1 X Y ( X X ) 1 X ( XB N ) B ( X X ) 1 X N B
于是：
ˆ ) E( B) E(( X X ) 1 X N ) B ( X X ) 1 X E( N ) B E( B
ˆ Y ˆ X ˆ X 0 1 1 2 2
1 、 2 称偏回归系数。
ˆ 1 的数值结果表明，当 X 2 保持不变时，
X 1 每增加
1 个单位，Y
ˆ 平均增加 1
个单
位；
ˆ X 2 的数值结果表明，当 1 保持不变时，
X 2 每增加
1 个单位，Y
ˆ 平均增加 2
(2.3.6)
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2,, k 。
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型。二元线性 回归模型的一般形式为：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i u i
其参数的最小二乘估计量如下：
§2.3多元线性回归模型的参数估计
Estimation of Multiple Linear Regression Model
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的参数估计 三、参数估计量的性质 四、样本容量问题 五、多元线性回归模型实例 六、Beta系数 七、弹性系数 八、相关分析 九、虚拟变量问题
i 1
2
(2.3.5)
于是，得到关于待估参数估计值的正规方程组 ：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) X 1i Yi X 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) X ki Yi X ki
3 、有效性 若 B* 是 B 的任一线性无偏估计量，则有
ˆ B)(B ˆ B)] E[(B* B)(B* B)] E[(B
证明略。
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四、样本容量问题
⒈ 最小样本容量
• 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和 最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 • 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数 目（包括常数项）。即
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五、多元线性回归模型实例991~2000 年的人均居民消费额 Y（千元） ，人均国内生 产总值 X1（千元） ，前一期人均居民消费额 X2（千元）的有 关数据计算出：
∑Yi=22.1 ∑Yi2=56.21 ∑x1ix2i=14.89 ∑yix2i=7.24 其中
随机抽取被解释变量和解释变量的 n 组样本观测值：
(Yi , X ji ), i 1,2, , n, j 0,1,2, k
如果模型的参数估计值已经得到，则有：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆi Y 0 1 1i 2 2i ki Ki
i=1,2,…,n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解：
xi X i X
∑X1i=47.5 ∑x1i2=31.83 ∑yix1i=15.28 ∑yi2=7.37 ，
yi Yi Y
∑X2i=19.5 ∑x2i2=7.27
n=10
（1） 对我国 1991~2000 年的消费模型进行估计
ˆ 1
2 x y x 1 2 x 2 y x1 x 2 2 1 2 2 2 1 2
（i=1，2，…，n）
x x x x 2 x y x 2 1 x1 y x1 x 2 ˆ 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2
Q0 0 Q0 1 Q0 2 Q0 k
(2.3.4)
其中
ˆ )2 Q e (Yi Y i
i 1
n
n
2 i
n
i 1
ˆ ˆY ˆ Y ˆ Y )) (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i=1,2,…,n (2.3.1)
其中：k 为解释变量的数目；
习惯上把常数项看成为一个虚变量的系数，在 参数估计过程中该虚变量的样本观测值始终取 1 。 这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）。
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二、多元线性回归模型的参数估计
• 普通最小二乘估计 • 在满足线性回归模型的基本假设的情况下，多 元线性回归模型可以采用普通最小二乘法估计 参数。
一、多元线性回归模型
1、多元线性回归模型的形式 • 在实际经济问题中，一个变量往往受到 多个原因变量的影响，在线性回归模型 中则表现为有多个解释变量。这样的模 型被称为多元线性回归模型。
• 多元线性回归模型的一般形式为：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i