解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 在电感上的电压降为 由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。 我们得到电流 所满足的微分方程为：
取开关闭合时刻为0，则 故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
(2) 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
x(0) 38.37 / s x(t) 29.78/ s
代入
t T ln x(0) ln 2 x(t)
得
t 5568 ln 38.37 2036 年
ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。
任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候， 它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然 界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与 外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到 任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以 每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力 量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的 含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比， 根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法——放射 性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大 的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。
1
ln
N0 N
T 1 ln 2
T 5568 年 镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
--理学院--
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更 少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金 属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处 于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝 大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210 与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变 正好等于镭衰变所补足的为止。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理 或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系
式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对 函数及其导数应用规律。
理学院
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的 现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
--理学院--
设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),
生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0, 由假设，初值问题的数学模型为：
dx x
dt x(0) x0
解为
规律： 裂变速率与剩余量成正比。 已知：λc14=1/8000
x(t) x0et
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t
x x0 e 8000
--理学院--
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210
T 138天 T 22年
--理学院--
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
（3） （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的
微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，
根据牛顿第二定律可得： mx'' (t) F, x(t) l , ml&& mg sin
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到 直接关系，就得求解微分方程。
微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过
程，是一个动态模型。 作用：
1、分析它的变化规律； 2、预测它的未来形态； 3、研究它的控制手段。 与统计方法的区别： 机理；事件发生的数量统计规律
近似方程
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
其中
g l
当 t T 时,θ(t)=0
4
故有 g T
l4 2
由此即可得出
T 2 g
l
l
M P
Q
mg
图3-1
例1 流水问题
一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，
由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从
小孔流出的速度为
v 2，g求h 在任一时
当x 0.0624 x0时
求得 t 8000 ln 0.0624 22400 yr 此即所求死亡年数。
1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主 要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的 0.7757倍，采用该方法计算得该墓距离今天有2130年左右。 通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在2100年 前，两者符合得很好。
＝ 1 ln2
T
可得：
ln 2t
x(t) x0e T
即：
t T ln x0 ln 2 x(t)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.
x(t) x0et x(t) x(0) x(0) x0
--理学院--
x(0) x0 x(t) x(t)
将上式代入，可得：
t T ln x(0) ln 2 x(t)
这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体 内C14的衰变速度 x(0)和现在时刻t的衰变速度 x(t),就 可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都 假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代 生物体中C14的衰变常数相同。
--理学院--
马王堆一号墓年代确定的第二种方法
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的 木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木 头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14 的半衰期为5568年，这样，我们可以把
h H B 2gt
2A
h H B
2
2gt
2A
水面高度与时间的函数关系
h H B
2
2gt
2A
水流空所需时间为（令 h=0 ）
t A 2H Bg
-理学院--
例2：古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德
特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳
14年代测定，分析表明， c14 与 c12 的比例仅仅是活
从而得出两阶微分方程：
这是理想单摆应 满足的运动方程
&&
g l
sin
0
&(0) 0, (0) 0
（3.1）
（3.1）是一个两阶非线性方程，不
易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可
考察（3.1）的近似线性方程：
l
M P
Q
mg
图3-1
&&
g l
0
（3.2）
（3.1）的 &(0) 0, (0) 0
思考：如何求半衰期？ 1 ln 2
x(t) x0e kt
由λc14=1/8000 可得碳14的半衰期为 5568年
--理学院--
思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中C14的数量，可 以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体 的年龄？
由：x(t ) x0et
刻的水面高度和将水放空所需的时间。
第一步列方程
设时刻 t 的水面高度为 h t t 时的水面高度为 h h h
等量关系：
A
水面1 水面2
h h B
t 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。
Ah Bs
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
Ah Bs
裂变速率与剩余量成正比。 λc14=1/8000
• C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大 气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有 放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧 化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作 为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动 植物体内。
• C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体 内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以 求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存 余量成正比。
这样，伪造罪成立， Van meegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Van meegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆 大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
--理学院--
例3 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕 纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾 将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德 寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。