新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题
一、函数与导数大题：
函数与导数大题5年5考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．
2016年我在考前曾经改编了一个导数为(1)()
x
--的题目，和当
x e a
年全国1高考题的导数(1)(2)
x
-+完全类似.
x e a
值得一提的是2017年（作为山东文科卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路，留下了一些回忆，也列在表中）山东文科的考法，学习了2016全国1的考法，却比全国1卷更上一层，这个导数为()()(sin ).f x x a x x '=--
以上告诉大家，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴的目的．
(,
3
+∞单调递增，在)
)单调递增，在
（21）（12分）
设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记的最大值为A.
（Ⅰ）求f ＇（x ）； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明
≤2A .
解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，
(1)32g a =-，且当14a
t a
-=
时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a
--++=--=-． 令1114a a --<
<，解得13a <-（舍去）
，1
5
a >． （ⅰ）当1
05
a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，
|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．
（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)(
)4a
g g g a
-->>． 又1(1)(17)
|()||(1)|048a a a g g a a
--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．。