F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
令 St
l u t
St n St m
St —— 斯特罗哈数（非恒定流）
v2 令 Fr g l
令 Re
流 体 力 学
Frn Frm
Fr —— 弗劳德数
n vnln m vmlm 取 1 n m u l
l v t
l l t
则
t l
20
12.4 Tm 2.77h t 20
Tn
例
流 在设计高度为1.5m，最大车速为108km/h的汽车时， 体 需确定其正面阻力，拟在风洞中用模型进行试验，①如 力 风洞中最大分数为45m/s，求模型高度；②在①条件下， 学
vl Ren Rem
Re —— 雷诺数
p pn pm p 取 2 1 v 2 v 2 令 Eu v 2 Eu n Eu m n n m m u
Eu —— 欧拉数
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2. 由动力相似定义推导
In Im Gn Gm In Im Tn Tm In Im Fn Fm In Im FTn FTm
2.该原理规定了一个物理过程有关物理量之间的关系， 英尺可按量纲之间的这一规律建立表征物理过程的方 程。 ——— 量纲分析法即以此为根本
25
雷利分析法
某物理现象的影响因素设为 x1，x2，…，xn。
则令
a2 an xn kx1a1 x2 xn
流 体 力 学
原型与模型要相似，则系数相等
原型可写为：
p u u u2 g t t l l2
u2 各项同除 t
g l p l 1 2 2 u t u u u l
10
l 1 取 u t
g l 取 1 2 u
3 Vn ln V 3 l3 Vm lm
面积比例常数
体积比例常数
指两个流动（原型与模型）流场的几何形状相似
2
流 体 力 学
几何相似
3
2. 运动相似：
tn t tm un l u um t an l a 2 am t
时间比例常数 速度比例常数
流 体 力 学
同理可得
p Eu 2 v F Ne 2 2 l v
流 体 力 学
----- 欧拉准数
----- 牛顿准数
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第三节 模型律
一、模型实验
在什么条件 下进行实验? 在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表达 式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似准数和 其它无量纲量来表示的函数关系 式或绘制成曲线；实验结果只能 应用于相似现象之间。
测出模型正面风阻为1.5kN ，求原型在最大车速时的正 面风阻。
解：采用相同流体试验，所以 1, 1
(1) 由Re相似
vl / 1
vn 108 103 v 0.67 vm 45 60 60
l 1/ v 1.5
(2) 由动力相似
Hm Hn / l 1.5/1.5 1m
8
1. 由运动微分方程（N-S方程）推导
以 N-S 方程的 z 轴为例：u为模型，u’为原型
uz uz uz uz 2u z 2u z u z 1 p ux uy uz Z ( 2 2 2 ) t x y z z x y z
2 2 2 u u u u u u u 1 p z z z z z z z u u u Z ( ) x y z 2 2 2 t x y z z x y z
解：此系统中流动的主要作用力是黏性力和压力，因此 主要准则是Re准则，辅助性准则是Eu准则。
18
(1) 由Rem=Ren，则
Re
0.045 v 1.5 l 0.01 3
流 体 Q νl2 1.5 32 13.5 力 学
vd
100 Qm 7.4 l/s Q 13.5
G gl 3 3 l I l 2 l 2v 2 t T l
v2 Fr gl
流 体 ( Fr )n ( Fr )m 力 ----- 弗劳德准数 学
l I l 2 l 2v 2 t
3
(We)n (We)m We 2 lv
v2 M 2 E a
24
三、量纲分析法
量纲分析的基础是量纲和谐定理： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的 量纲一定是一致的。
流 体 力 学
结论：
1.凡正确反映客观规律的物理方程，均可表示成由无 量纲项组成的无量纲方程，而保持原方程的性质。
p v2 z C g 2g

p v2 1 C gz 2 gz
流 体 力 2学
由于
u t x y z p u , t , l , p , , u t x y z p g 在重力场下 Z g , Z g , g g 9
流 体 2 p 1 p u uz u u z u z u z 力 (ux uy uz ) g g t t t x y z l z 学 u 2uz 2uz 2uz ( 2 2 2) 2 l x y z
流 体 力 学
指两个流动相应点处质点受同名作用力，方向 相同，大小成比例 In FTn Im FTm Pm
6
Pn Gm
Gn
二、力学相似原理
几何相似是力学相似的前提；运动相似是模型实 验的目的；而动力相似是运动相似的保证。 如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点， 各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成 比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ般物理量可写为：
[q] [ L T M ]
即q的性质由量纲指数 , , 决定
0, 0, 0
流 体 力 学
则 q 为几何学的量 则 q 为运动学的量
0, 0, 0
0, 0, 0
则 q 为动力学的量
则 q（[q=1]）为无量纲量
加速度比例常数 流量比例常数
Qn l3 Q Qm t
指两个流动相应点的速度等方向相同，大小成比例
4
流 体 力 学
运动相似
5
3. 动力相似：
Fn FTn Gn Pn pn In F Fm FTm Gm Pm pm Im
合 力 粘 性 力 重 力 总 压 力 压 力 差 惯 性 力
流 体 力 学
16
三、自动模型化
当 Re 数增大到一定界限时，惯性力与粘性力之 比也大到一定程度。粘性力的影响相对减弱，此时 继续提高 Re 数，也不再对流动现象和流动性能发生 度和量的影响。这说明 Re 数虽不同，但粘性效果却 是一样的。 产生此现象的Re数范围称自动模型区， Re数处 在此区时， Re准则失去判别相似的作用。
p Eu 2 v
又 g 1
Qn
(2) 由Eum=Eun，则 由 p gh
p g h 1 2 2 v v
2 h 2 1 . 5 2.25 v
则 hn h hm 2.251.05 2.36m
19
例
流 体 力 学
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流 例 体 煤油管路上文丘里流量计直径d1=0.3m，喉部 力 d2=0.15m，在1:3的模型中用水作实验。已知煤油密度 学 3 2 2
0.82g/cm ，水、煤油的n值为0.01cm /s，0.045cm /s。 求： （1）若原型中煤油流量为100l/s，则模型中水的流 量应是多少？ （2）若模型中两断面间的测压管水头差 Δhm=1.05m， 求原型中的Δhn？
流 海港模型的几何比尺λl = 20，原型中潮汐周期为 体 12.4小时，求模型中的潮汐周期。 力 解：潮汐运动的主要作用力是重力，此外为非恒定周期 学