（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平
移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是
轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面进 行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合，
则称此面为滑移反映面。 T是平行
B1



A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29

23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶
A 1
B
A
面上的一个晶列，AB为这一晶
列上相邻的两个格点。

B1
A B

A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重 合，则由于晶体的周期性，通过格 点B也有一转轴u。 B1
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， O 则


X ( x1 , x2 , x3 )
x2
2
2
2
2
2
2

~ AA I
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
晶体的对称性
本节主要内容:
1 对称性与对称操作 2 晶系和布喇菲原胞 3 点群的表示符号
1 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。
对称操作：使晶体自身重合的动作。
对称素： 对称操作所依赖的几何要素。
1.对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
c

a
b
1.三斜晶系： a b c, 2.单斜晶系： 900
abc
简单三斜(1) 简单单斜(2) 底心单斜(3)
3.三角晶系：
4.正交晶系：
abc
0 0
90 < 120
三角(4)
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8) 简单四角(9)，体心四角(10) 六角(11)
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
(3)面对角线C2： 6个2度轴；
3个立方轴； 4个3度轴；
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
x1 X x 2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 33
x1 X x 2 x x 3 3
a11 A a21 a 31
32个晶体学点群
• 由上述的8种独立的宏观对称元素按一定的 规则（即对称元素至少要通过一个公共点； 组合时不能出现5次轴及大于6的对称轴） 进行组合，总共有32种组合形式，称为32 个晶体学点群。晶体的宏观外形不论形状 如何，必属于这32个晶体学点群中的某一 个。
7个晶系和32种晶体学点群的划分
abc
900
5.四角系： a b c 0 90 (正方晶系) 6.六角晶系： 900 1200
abc
7.立方晶系： 900
abc
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14)
1.三斜晶系：
B
A

A B

A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2

AB 是 AB 的整数倍，

2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则
B
A
AB AB 1 2cos θ,
AB 是 AB 的整数倍，
面心立方(14)
a a
六方
立方
a
三方
c
a a
单斜
四方
c
a a a
a a a
三斜 正交
c
a
b
c
a
b
c
b
a
3 点群的表示符号
• 通用的点群符号有两种: • 一是传统的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符号; • 二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符号：扼要地 概括了点群中对称元素的配置情况,包含信息较多, 已为国际晶体学界所采用，故通称为国际符号。 • 独立的8种对称操作： • 熊夫利符号：C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4 • 国际符号：1，2，3，4，6，i，m ，4 。
对称 晶 性的 高低 系 三 斜 单
2 或m
特征对 晶胞类型
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5 6

abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2h
D2
D2v
c1 ci c2
1
1 2 m
2
i
m
2, m, i 32 2, 2 m
16 17 18 19 20

c3 c3i
D3
3
3
3
3 2 3m
2 3m
3, i
3,32 3,3m 3,32,3m, i
3
120 90
六方晶胞
a bc
90 120
c3v
D 3d
续表：
对称 性的 高低 晶 系 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 21 22 点 群 对称元素 熊夫里 国际记号 斯记号
与4度轴正交的对称面
与2度轴正交的对称面
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。
一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个
元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、
镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对 称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理 性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。 如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。
abc
中 六 方
23
c6h
D6
c3h c6v
D 3h D 6h
c6
6
6
6(3, m)
6
90 120

24
25 26 27 28
6 6 m 622 6mm 6m2 622 mmm
6, m, i
6,62
6,6m
6(3, m),32,4m
6,62,7m, i
T
Th
4 3在 abc
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O x1
操作前后，两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x2
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
底心正交(6)
体心正交(7)
面心正交(8)
5.四角系：(正方晶系)
abc
900
简单四角(9)
体心四角(10)