6m2
4/mmm 6/mmm
42m 32 / m 4 3
群元素数 4 6 8 12 4 6 8 12 8 12 16 24 8 12 4 6
T群（Td群的12纯 转动操作）
3
宏观对称性的描述---对称操作
描述一个晶体具有的宏观对称性，最简单的办法就是列举 出所具有的全部对称操作。 一个物体在某种几何变换下不变，我们称此几何变换为其 对称操作。
三维晶体的对称操作包括：
•绕某一轴旋转角度 •对某中心的反演 •以上二者的组合 •特殊的对称操作：不动
宏观对称操作是一个非平移操作，又称为点对称操作 一个晶体具有的对称操作越多，表明它的对称性越高。
4
立方对称（sc、bcc、fcc）操作
(a)
(b)
(c)
•沿图（a）立方轴转动/2、 、 3/2，有3个立方轴，共9个对称操作。 •沿图（b）面对角线转动，有6条面对角线，共6个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2/3、 4/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。 •以上共24个对称操作，以上操作再加上反演为新的对称操作。 •共48个对称操作。
A(BC)= (AB)C
宏观对称性的描述---对称操作群
•一个物体的全部对称操作的集合，也满足群的定义，称为对 称操作群。
1. “乘法法则”：连续操作 2. 单位元素：不动操作 3. 存在逆元素：中心反演的逆为其自身，转的逆为转- 4. 显然满足结合律 5. 闭合性：两个对称操作的“乘积”仍是物体的对称操作。
5
宏观对称性的描述---对称素
为简便起见，描述宏观对称性可以不用一一列举其对称 操作，而是描述其所具有的对称素。对称素就是一个物 体借以进行对称操作的一根轴、一个平面或者一个点。
I. 如果一个物体绕某轴旋转2/n及其倍数不变，称该 轴为n次旋转轴，记为n。
II. 如果一个物体对某点反演不变，称这个点为对称心， 记为i。
zx zy zz
立方对称晶体：
0 0 0
0
0
0
0 0 0
六方对称晶体：
0 0
0
0
0 0 //
10
晶体宏观对称性及其分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
宏观对称性破缺
晶体的宏观对称性不同于几何图形。晶体内部原子的周期排 列会对晶体点对称的对称素和对称素的组合产生严格限制。 因此，晶体的点对称素或者对称素之间的组合都是有限的和 一定的，称为宏观对称性破缺。
绕A点旋转角，BB’ 绕B点旋转-角，AA’
B' A' // AB
同族晶列格点的周期性相等
B’
A
A’
B
A' B' m AB （m为整数）
A' B' AB 2AB cos(1800 ) AB(1 2cos )
12
所以 m 1 2 cos
m cos
-1
1
0
0
1/2 2/6
1
0 2/4
2 -1/2 2/3
3
-1 2/2
（m为整数）
因此宏观对称可能的对称素只有以下10种 （非完全独立）：
1(E) 2 3 4 6 1(i) 2(m) 3 4 6
晶体内不可能由5重轴、7重轴、十重轴…..等等对称元素（原因？）
13
32种点群
•由于晶体平移对称性对其宏观对称性的限制，晶体只可能有上述10种对称 素，且对称素的组合也受到严格限制，10种对称素只能组成32种对称操作 群，称为点群。 •也就是说，晶体的宏观对称性只有32中类型，由32个点群来概括：
晶格的周期性排列，还使其具有宏观对称性：例如立方晶胞。 当绕任一晶轴旋转90oC及其倍数或对任一原子作反演，晶格复 原。宏观对称性又称点对称性，因为进行此类对称操作时，晶 体至少一点不动，即未做平移。
晶体的宏观对称性产生于晶体中原子的周期排列，因此受到 晶体平移对称性的制约。
晶体的宏观对称性不仅反映在几何外形上，更重要的反映在 物理性质上，同时对晶格的分类起着重要作用。
的镜面）
Cnv群（Cn群加 上n个平行镜面）
Dnh群（Dn群加 上与n重轴垂直
的镜面）
Dnd群 Sn群（包含反
演轴）
熊夫利符号
C2h C3h C4h C6h C2v C3v C4v C6v D2h D3h D4h D6h D2d D3d S4 S6（C3i）
国际符号 mmm
6
4/m 4
mm2 3m 4mm 6mm mmm
III. 如果一个物体绕某轴旋转2/n后再反演不变，称该
轴为n次旋转反演轴，记为
6
立方对称的对称素：
•三条4次旋转轴4和旋转-反演轴4 •六条2次旋转轴2和旋转-反演轴 2 •四条3次旋转轴3和旋转-反演轴 3 •中心反演：i •不动：1次旋转轴1或E
7
宏观对称性的描述---对称操作群
数学补充：群
C
T’ O
A
T S
B
•描述物体的对称性只需找出 其对应的对称操作群。晶体对 称性的系统理论就是建立在 “群”的数学理论的基础上。
晶体宏观对称性与宏观物理性质
Neumann定理：晶体的任一宏观物理性质具有其晶 格所具有的全部对称性。
介电常数一般形式：
D 0E
xx yx
xy yy
xz yz
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性及其结构分类 倒点阵
1
晶体宏观对称性及其结构分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
宏观对称性
对称性是指在一定几何操作下，物体保持不变的特性。
晶体的显著特点是具有平移对称性：原子周期排列。平移Rl， 晶格复原。
不动操作
回转群（只含 一个旋转轴）
双面群（一个n 重旋转轴和n个 垂直的二重轴）
熊夫利符号
C1 C2 C3 C4 C6 D2（V) D3 D4 D6 Ci（S1） Cs (S2)
国际符号 1 2 3 4 6
222 32 422 622
1
m
群元素数 1 2 3 4 6 4 6 8 12 2 2
Cnh群（Cn群加 上与n重轴垂直
群为一组“元素”的集合，G（E, A, B, C, …)，且这些“元素”在定义 一定的“乘法法则”下（不等价于数学乘法），满足下列性质： 1. 群的闭合性: 集合内任意两元素“乘积”仍为集合元素
A, B G, 则AB=C G 2. 存在单位元素E
AE= A 3. 任意元素存在逆元素
AA-1= E 4. “乘法”满足结合律