(
)
5
x ⋅ S ⋅ x = xm g m ⋅ =
1 ij S − S ji g i g j ⋅ xn g n 2
(
)
1 ij S − S ji xm x n g m ⋅ g i g j ⋅ g n 2 1 = S ij − S ji xm xn δim δ n j 2 1 1 = S ij xi x j − S ji xi x j 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ji x j xi 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ij xi x j 2 2 =0
其他两个，同理可证。 (1)如果二阶张量 S 是反对称张量，对于任意一阶张量 x ，证明 x ⋅ S ⋅ x = 0 (2) S 是二阶反对称张量， A 是二阶对称张量，证明 A : S = 0
5.
¾

解答：
m
（1） x = xm g
因为二阶张量 S 是反对称张量
S=
1 ij S − S ji g i g j 2
(
)
(
)
（2） S = S g i g j ， A = Amn g g ，
ij m n ij A : S = S ij g i g j : Amn g m g n = S ij Amn δim δ n j = S Aij
S ij Aij = − S ji Aij = − S ji A ji = − S ij Aij
c） R ε g R = ε l 所以
T
1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡1.6 ⎢ 3 ⎥⎣ 0 2 ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤⎢ ⎢ 2.3⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣
3 2 1 2
1⎤ − ⎥ ⎡ 1.775 0.3031⎤ 2⎥ = ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎣0.3031 2.125 ⎦ 2 ⎥ ⎦
⎡ 3 ⎢ ε g = Rεl R T = ⎢ 2 ⎢− 1 ⎢ ⎣ 2
j
a1 = 2 p + r, a 2 = 4 q + 2 r, a3 = p + 2 q + 2 r
1
2.
已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
⎡ ⎢ 0 ⎡ e1′ ⎤ ⎢ ⎢e ⎥ = ⎢ − 1 ⎢ 2′ ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎣e 3′ ⎥ ⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎣ 2
1 3 1 3 1 3
i j kl
¾
A:B = Aij B kl ( g i ⋅ g k )( g j ⋅ g l ) = Aij B kl δ ki δ l j = Aij B ij tr( A T ⋅ B ) = tr(Aij B il g j g l ) = Aij B il ( g j ⋅ g l ) = Aij B ij = A:B tr( A ⋅ B T ) = tr(Aij B kj g i g k ) = Aij B kj ( g i ⋅ g k ) = Aij B ij = A:B
f = x T Ax ， grad（ f ）=
∂x T Ax = 2 Ax ∂x
f ′ = (R T x ′) T AR T x ′ = x ′ T RAR T x ′
grad (f' ) = ∂x ′ T RAR T x ′ = 2RAR T x ′ ∂x ′ = 2RA(R T x ′) = 2RAx = R ⋅ 2 Ax = R ⋅ grad (f)
¾
解答： （1）
g = (g1 × g 2 ) ⋅ g 3 = 2
g1 =
1 (g 2 × g 3 ) = (0,0,1) T g 1 (g 3 × g1 ) = (0.5,-0.5, 0.5) T g
g2 =
g3 =
ij
1 (g1 × g 2 ) = (0, 1, - 1) T g
j
（2） g = g ⋅ g
连续介质力学作业（第一章）参考答案
1. 给定一组协变基矢量 g1 = （ 0 1 1 ） ， g2 = （2
T T T 0 0） ， g3 = 。 （ 1 1 0）
（1）求逆变基 g ， g ， g 。 （2）求 g
ij
1
2
3
（3）在上述协变基下，若向量 a 的逆变分量为 （p
q
T r） ，求向量 a 的协变分量。
所以 S Aij = 0
ij
6
2 ⎤ ⎥ 6 ⎥ ⎡ e1 ⎤ 1 ⎥⎢ ⎥ − e2 6 ⎥⎢ ⎥ ⎣e 3 ⎥ ⎦ 1 ⎥⎢ − ⎥ 6⎦
2 2
向量 x = x1 e1 + x 2 e 2 + x3 e 3 ，给定函数 f( x ) = x1 − x3 。 （1） 求函数 f 的梯度 grad（ f ） （2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ e i′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′( x1′ , x 2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（ f ） 的客观性。
⎧ 1 1 ⎤ (− x2' + x3' ) ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ 2 ⎥ ⎧ x1' ⎫ ⎪ 2 ⎪ 1 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ( ) x x x x = + + ⎨ 2' ⎬ ⎨ 1' 2' 3' ⎬ 3 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ 1 ⎥ ⎩ x3' ⎭ ⎪ 1 (2 x1' − x2' − x3' )⎪ − ⎥ ⎪ ⎪ 6⎦ ⎭ ⎩ 6
b）张量不变而参考坐标旋转，以 e i 为 global，以 N i 为 local
⎡ cos θ 记R = ⎢ ⎣− sin θ
⎡ 3 sin θ ⎤ ⎢ 2 =⎢ cos θ ⎥ ⎦ ⎢− 1 ⎢ ⎣ 2
1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ ， 因 RT σ R = σ g l 3⎥ 2 ⎥ ⎦
⎡ 3 ⎢ T 所以 σ g = Rσ l R = ⎢ 2 ⎢− 1 ⎢ ⎣ 2
途径二：
2 2 2 2 4 2 4 2 ⎞ ⎛−4 grad (f' ) = ⎜ x1' + x2' + x3' , x1' + x2' − x3' , x1' − x2' + x3' ⎟ 3 3 3 3 3 3 3 3 ⎠ ⎝ 3
R ⋅ grad（ f ） ⎡ ⎢ 0 ⎢ 1 = ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎣ 2 1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
1 2 1 3 1 − 6 −
2 ⎤ ⎥ 6 ⎥ ⎡ x1 ⎤ 1 ⎥⎢ ⎥ − x2 6 ⎥⎢ ⎥ ⎦ ⎣ x3 ⎥ 1 ⎥⎢ − ⎥ 6⎦ 2 ⎤ ⎥ 6 ⎥ 1 ⎥ T − ，由 {xi' } = R{xi } 得 {xi } = R {xi' } ， 6⎥ 1 ⎥ − ⎥ 6⎦
'
2
2 2 2 1 2 2 4 1 2 = − x1' + x1' x2' + x2' + x1' x3' − x2' x3' + x3' 3 3 3 3 3 3
（4） 验证 grad (f' ) = R ⋅ grad (f) ，即证明 grad（ f ） 是客观性的。 途径一： 记 A = Diag(1,0,−1) ，则
⎡ 3 1 ⎤ ⎥ ⎡1 0 ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎢ 3 ⎥⎣ ⎦⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ 2
1⎤ − ⎥ ⎡ 1.25 0.433⎤ 2⎥ = ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎣0.433 1.75 ⎦ 2 ⎥ ⎦
d） W = σ : ε / 2 = σ ij e i ⊗ e j : ε kl e k ⊗ el / 2 = σ ij ε ij / 2 = 3.1
i
⎡ 1 1 / 2 − 1⎤ ⎥ [g ] = ⎢ ⎢1 / 2 3 / 4 − 1⎥ ⎢ ⎣ −1 −1 2 ⎥ ⎦
ij
（3） a = p,
1
a 2 = q,
a3 = r
⎡2 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ 由 [ g ij ] = 0 4 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 2 2 ⎣ ⎦
及 ai = g ij a 得
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1 = 1.6 ， λ2 = 2.3 。主方向 N1 =
σ σ
3 1 e1 − e 2 ， 2 2
1 3 ε = 1 ， λε e2 为 N 2 = e1 + e 2 。应变张量 ε 主值 λ1 2 = 2 ，主方向与应力张量相同。 e1 , 2 2
4
e)
σ ， σ 的球应力张量（记为 p ） ，和 σ 的偏应力张量（记为 τ ） ，三者具有相同的主
方向（主空间） ，三者主空间均为
N1 =
3 1 1 3 e1 − e 2 ， N 2 = e1 + e2 2 2 2 2
在主空间中，球应力张量 p ，偏应力张量 τ 可表示为
p=
tr( σ ) N i N i = 1.95N i N i , i = 1 ~ 2 2
2
f( x ) = x1 − x3
2
2
⎛ 1 ⎛ 1 (− x2' + x3' )⎞ (2 x1' − x2' − x3' )⎞ =⎜ ⎟ ⎟ −⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 6 ⎝ 2 ⎠
2
2
2
⎛ 1 ⎛ 1 (− x2' + x3' )⎞ (2 x1' − x2' − x3' )⎞ 即 f ( x1' , x 2' , x3' ) = ⎜ ⎟ ⎟ −⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠