数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，nn次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是()A．－5×3＝－15B．0.5×3＋4＝5.5C．3×33－5×3＝66D．0.5×36＋4×35＝1 336.6答案 B解析f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案 C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案 D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是()A．4 B．10C．16 D．33答案 C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()A．20 B．61C．183 D．548答案 C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A．1 326 B．510 C．429 D．336答案 B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．n＝x可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝________.答案1＋52解析 由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.(2)用秦九韶算法计算函数f (x )＝2x 4＋3x 3＋5x －4在x ＝2时的函数值．答案 (1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f (x )＝2x 4＋3x 3＋5x －4＝x (2x 3＋3x 2＋5)－4＝x [x (2x 2＋3x )＋5]－4＝x {x [x (2x ＋3)]＋5}－4，故当x ＝2时，f (x )＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4当x ＝3时的值．答案 (1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”()A.439 B.778C.776 D.581答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) A.23 B.815C.2031D.35答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1?1－25?1－2＝5， 计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布C ．150尺D ．180尺答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×?5＋1?2＝90. 8．在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．9日B．8日C．16日D．12日答案 A解析由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝－0.5；10．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．24里B．48里C．96里D．192里答案 C解析由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a1[1－?12?6]1－12＝378，解得a1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()13．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12 斤答案 A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”() A．3 B．4C．5 D．61－122n－1∴2n－1＋2－12n－1＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是()A．a n＝3n－1B．a n＝2n－1C．a n＝3n D．a n＝2n－1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图)答案 395解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60. 所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C nn1C1n+1C0n1C1n+1C1n…1C1n+1C r n…1C1n+1C n-1n1C1n+1C n n图B答案1C1n+1C r n＝1C1n+2C r n+1＋1C1n+2C r+1n+1解析类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n+1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n＋C r+1n＝C r+1n+1，有1 C1C r ＝1C1C r＋1C1C r+1.“杨辉三角”(1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)11 112 1133 11464 11510105 1图1……图2请回答下列问题：(1)记S n为图1中第n行各个数字之和，求S4，S7，并归纳出S n；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)()A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112， 设底面圆的半径为R ，∴⎩⎨⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ?275L 2≈13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是() A．110 B．116C．118 D．120答案 D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则()105×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有() A．14斛B．28斛C．36斛D．66斛答案 B解析设圆锥的底面半径为r，则π2r＝9，解得r＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算术》是我国古代着名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一≈6.33(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633(立方寸)．故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412，∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．答案(1)证明如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设PD＝DC＝1，BC＝λ(λ>0)，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB →＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E (0，12，12)，DE →＝(0，12，12)， 于是PB →·DE →＝0，所以PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因为PC →＝(0,1，－1)，四、其他问题1．我国古代数学名着《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石答案 B解析 抽样比是28254，那么1 534石米夹谷1 534×28254≈169(石)，故选B. 2．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④c1a1<c2a2.其中正确的式子的序号是()A．①④B．①③C．②④D．②③1112121221∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴③正确．④∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴c1a2a1a2>a1c2a1a2，即c1a1>c2a2，∴④不正确．故选D.3．古代数学名着《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈3169V，人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14 159…，判断下列近似公式中最精确的一个是()较小的锐角α＝π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是()A．1－32 B.32C.4－34 D.34答案 A解析设小正方形的边长为x，由于sin α＝12，cos α＝32，即x＋12＝32，则x＝3－1，故飞镖落在小正方形内的概率是P＝4－234＝1－32，故选A.5．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.∴两条直角边的长分别为3,4，又∵直角三角形中较小的锐角为θ，∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos2θ－1＝725.7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是______．答案4 9解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1、2B 2、3B 3…、9B 9，B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、…、A 9A ，共有9×10＝90个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2、4B 4、6B 6、8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、…、A 9A ，共有4×10＝40个， )正束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为34，23，12，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． (1)求选手获得5个学豆的概率；(2)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．答案 (1)P (X ＝5)＝34×12＝38. (2)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A 1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A 2，则A 1，A 2互斥，P (A 1)＝34×12×(1－23)＝18， P (A 2)＝34×12×23×12×(1－12)＝116. P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝18＋116＝316. 10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦·矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．。