2. 3
边界约束条件
底座是由螺栓固定在地 面 上 的。在 有 限 元 模 型 中，把机床的边界约束简化为约束与固定螺栓位置相 对应的节点的各个方向的自由度。
!" 模态分析结果
建立 好 有 限 元 模 型 后， 在 ANSYS 中 用 BlockLanczos 法求解机床的模态。求解时共扩展了 20 阶模 态，取前 4 阶模态得表 l 所示的结果。
的其余元素都为 0 。 Cl C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 Cl0 C2 Cl3 Cl4 Cl5 - - - - - C C C C - - - - - 3 l4 24 25 C4 Cl5 C25 C34 - - - - - C5 - - - C43 - - - - C6 - - - - C5l - - - C7 - - - - - C58 - - C8 - - - - - - C64 - C9 - - - - - - - C69 C - - - - - - - - C 73 l0 Cll - - - - - - - - Cl2 C23 C33 C42 C50 C57 C63 C68 C72 C75
假定系统的质量矩阵与刚度矩阵都是正定的实对 称矩阵，在数学上可以证明，在这一条件下，频率方 程 I I ij - !2 m ij I = 0 的 I 个根均为正实根，它们对应于 系统的 I 个自然频率，这里假定各根互不相等，即没 2 有重根，因而可以由小到大按次序排列为 !2 1 < !2 < … < !2 （ I 。将求得的 ! r r = 1 ，2 ，…， I ） 分别代入方
图3
第三阶振型
图4
第四阶振型
对固定立柱及底座结合面的刚度进行调整主要有 2 种方法：一是调整固定螺栓的预紧力，二是调整结 合面的厚度。在有限元模型中就是分别调整用户自定 义单元中刚度矩阵的相应元素和相应壳单元的实常 数。
表2 调整用户自定义单元中各项刚度值 后的各阶固有频率结果 刚度调整倍数 0. 05 0. l 0. 6 l l. 5 5 l0 表3 板厚 / mm 20 30 40 50 60 70 一阶 35. 749 38. 77l 40. 208 40. 452 40. 6l5 40. 974 4l. ll3 二阶 46. 097 5l. 453 52. 099 52. l85 52. 237 52. 334 52. 367 三阶 49. 8l9 55. 505 53. 504 58. 823 59. 003 59. 3l4 59. 4l0 Hz 四阶 63. 323 66. l58 68. 947 69. 42l 69. 687 70. 048 70. ll5 Hz 四阶 66. 875 68. 036 68. 860 69. 42l 69. 8l6 70. 032
!" 模态分析的基本理论
在结构动力学问题中结构固有频率和固有振型是 动力学问题分析的基础。在无阻尼自由振动的情 况 下，结构的固有频率和振型可转化为特征值和特征向 量的问题。 I 自由 度无阻尼 系统的自 由 振 动 可 表 示 为： g t） ［ m］ ｛ （ ｝+ ［ I］ ｛ （ g t） ｝=｛ 0｝ （1） 由于弹性体的自由振动可分解为一系列简谐振动 的叠加。因此可设式（ 1 ） 的解为： ｛ （ g t） ｝=｛U｝ cOs （ !t - "） （2） 式中：! 是 实 数，为 简 谐 运 动 的 频 率； " 是 任 意 常 数。 将式（ 2 ） 代入式（ 1 ） 得： 2 ［ I］ ｛U ｝- !［ m］ ｛U｝= 0 （3） 这是一个 关 于 ｛U ｝ 的 I 元 线 性 齐 次 代 数 方 程 组，该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 等于 0 ，即 I I ij - !2 m ij I = 0 ，此式称为系统频率方程， 该行列式称为特征行列式。将它展开可得到关于 !2 的 I 次代数式 2I 2 （ I - 1） （ I - 2） + a 2 !2 + … + a I - 1 !2 + # I = 0 ! + a1 !
2. 1Biblioteka 用户自定义单元的定义用户自定义单元用空间任意两个节点来定义，每 节点有 6 个自由度，一个自定义单元两个 节点就 有 12 个自由度，就需要用 12 > 12 阶的矩阵来完全定义 该单元的刚度、阻尼或质量的信息。因此，用户自定 义单元的实常数的设置实际是给一个 12 > 12 阶的矩 阵中的元素分别赋值，该矩阵如式（ 4 ） 所示。 例如要设置单元 X，Y，Z 三个方向的联接刚度， 矩阵中各元素的取值就为： C1 = - C7 = C58 = K x ， C13 = - C19 = C64 = K y ， C24 = - C30 = C69 = K z ，而矩阵中
Abstract：The mOdaI anaIysis Of a machine tOOI was dOne by means Of sOftware ANSYS. The user defining eIement was intrOduced intO the finite eIement mOdeI. The infIuence Of the stiffness Of the cOntact face between the standing cOIumniatiOn and the base On the mOdaI Of the machine tOOI was anaIyzed. Keywords：Machine tOOI；Finite eIement；User defined eIement；MOdaI；COntact face
表l 阶数 l 2 3 4 机床前 4 阶固有频率和振型结果 振型描述 固定立柱左右摆动 八分管及其支架左右摆动 八分管及其支架上下摆动 固定立柱的前后仰伏及 Y 轴 滑架联同八分管上下运动 固有频率 / Hz 40. 522 5l. l80 57. 253 69. 4l3
调整固定立柱与底座结合面厚度 后的各阶固有频率结果 一阶 36. 884 38. 29l 39. 449 40. 452 4l. 228 4l. 897 二阶 5l. 633 5l. 9l7 52. 089 52. l85 52. 308 52. 388 三阶 56. 005 57. 568 58. 35l 58. 823 59. ll0 59. 327
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《 机床与液压》 2005. NO. 2
机床模态特性的有限元分析
王学林，徐 岷，胡于进
（ 华中科技大学机械科学与工程学院，武汉 430074 ）
摘要：采用了 ANSYS 软件对机床模态特性进行了有限元分析。在有限元模型中引入了用户自定义单元来模拟结合面的 刚度。重点分析了机床固定立柱和底座结合面的刚度对机床模态的影响，为机床的下一步设计提供了参考。 关键词：机床；有限元；用户自定义单元；模态；结合面 文献标识码：A 文章编号：1001 - 3881 （ 2005 ） 2 - 048 - 2 中图分类号：TG502. 1
《 机床与液压》 2005. No. 2
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固定立柱和底座结合面刚度对机床固有频率的影响。 Cll C22 C76 C77 Cl2 C23 C33 C42 C50 C57 C63 C68 C72 C75 C77 C78 （4） 对机床其它结合面的分析也可参照固定立柱与底座结 合面的分析方法。
Finite Element Analysis of the Modal of Machine Tool
WANG Xue-Iin，XU Min，HU Yu-jin （ SchOOI Of MechanicaI Science & Engineering，HuazhOng University Of Science & TechnOIOgy ，Wuhan 430074 ，China）
（ r） 程（ 3 ） 求得相应的 { U }，这就是系统的模态向量 或振型向量。
#" 有限元模型的建立
该型号机床主要由六大部件组成：底座、固定立 柱、X 轴滑架、Y 轴滑架、八分管及八分管支架。由 于该机床主要是钢板焊接结构，所以机床的有限元模 型主要采用壳单元建模组成。机床各个部件之间并不 是固接在一起的，而是通过某种方式连接在一起，如 底座大小两部分以及固定立柱与底座之间通过螺栓连 接；X 滑架是通过导轨与固定立柱连接； Y 滑架是通 过导轨与 X 滑架连接；还有沿 Z 方向运动的八分管 与 Y 轴滑架之间也是通过导轨连接。机床中各个结 合面的接触刚度对整机的影响很大，因此有限元模型 中结合面接触刚度的处理直接影响最后的计算结果。 本文采用了一种用户自定义单元来模拟结合面的实际 情况。
前四阶模态形状见图 l ~ 4 所示。
#" 机床结合面的刚度调整对固有频率的影响
如前所述，机床结合面的刚度对机床固有频率影 响较大，下面以固定立柱和底座的结合面为例，分析
从表 2 和表 3 中可以看出，随着结合面的用户自 定义单元刚度值的增大及厚度的增加，前 4 阶频率不
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《 机床与液压》 2005. No. 2
用，可 以 基 于 某 种 三 维 造 型 软 件 （ Pro / E， UG， SoIidworks 等） 进行二次开发。
参考文献
【 1 】 熊光楞编 . 并行工程的理论与实践［ M ］ . 清华大学 出版社，2001. 【 2 】 尤春风著 . CATIA V5 机械设计［ M ］ . 清华大学出版 社，2002. 【 3 】 陈定方，罗亚波著 . 虚拟设计［ M ］ . 机械工业出版 社，2002. 【 4 】 程 凯 . 基于 CATIA 系统的虚拟装配技术应用研究 ［ J］ . 西安飞机设计研究所 . 【 5 】 李慰立，于成波 . 虚拟制造关键技术［ J］ . 重庆工学 院学报，2000 ，14 （ 1 ） . 【 6 】 魏志强，王先逵，杨志刚等 . 分布式制造环境下的产 品数字化预装配技术 . www. e - works. net. cn，2001. 【 7 】 盛选禹编 . CATIA 三维模型入门与提高［ M ］ . 机械 工业出版社，2003. 【 8 】 童秉 枢，李 建 明 编 . 产 品 数 据 管 理 （ PDM ） 技 术 ［ M］ . 清华大学出版社，2000. 【 9 】 尤春风著 . CATIA V5 曲面造型［ M ］ . 清华大学出版 社，2002. 作者简介：冯瑞成，（ 1976 ~ ） 男，山东泰安人，兰 州理工大学机电工程学院硕士研究生，研究方向为面向装 配设计，虚拟装配技术。电话：0931 - 2758258 ， E - maiI： fengrc@ sohu. com。