第二章 静定结构的内力计算一、平面杆系结构2-1、（例题）已知：平面桁架结构的形状尺寸及受载情况如图1-11所示。
试求结构内力。
解：（1）分析结构组成：结构可以看成是以三角形桁架567为基本系统，分别用两根不在同一直线上的双铰杆逐次连接4、3、2、1节点组成的简单桁架。
结构本身是静定的。
现将结构用一平面铰5和一双铰杆3与基础相连，约束正好够，双铰杆不通过平面铰5，分布合理。
（2）根据判断零力杆的原则，可知1-2、1-6、2-3、2-7、5-6、6-7杆轴力均为零。
（3）用节点法求其余各杆内力。
取节点4为分离体得：∑=0XN 34=N 45∑=0Y P N=47取节点7为分离体得： ∑=0X 3757N N =∑=0Y02222475737=++N N N ∴P N N 225737-== 取节点3为分离体得：∑=0X 0223437=+N N∑=0Y33722R N = ∴234PN =23P R -= （R 3为负值，表示3点支反力R 3方向与所设方向相反。
）（4）将求得的各杆轴力标在图上或列于表中。
2-2、判断图2-4中所示个桁架结构的静定性，并指出零力杆。
解：(1)结构静定。
杆1-2、1-3、2-3、3-5、6-4、6-5、2-4是零力杆。
(2)结构静定。
杆1-2、1-4是零力杆。
(3)结构静定。
杆2-3、3-4、1-4是零力杆。
(4)结构静定。
杆2-4、3-4是零力杆。
2-3、平面桁架的几何尺寸和载荷情况如图2-5中所示，用节点法计算桁架结构各杆的内力。
解：（1）0,2,0,,0,,0,06857564536252312=-====-===N P N N P N N P N N N （2）（3）N N P N N P N N P N N P N P N 3,0,2,0,3,0,2,0,3,257474645352524231312-====-====-==P N N 3,05747-==（4）P N N P N N P N N P N 22,0,22,0,,0,2245352523241412==-====-= （5）P N P N P N P N P N -=====3989384734,22,22,22,22，其余为零力杆。
（6）P N P N P N 5,2,2342312===，其余为零力杆。
2-4、已知平面桁架的几何形状，受力情况如图2-6所示。
kg P cm a 3000,10==.求:结构中粗线所示杆件①②③的内力。
解：（1）杆① P N 2= 杆② P N 32=杆③ P N 2-= （2）杆① P N 32= 杆② P N 32-= 杆③ 0=N2-5、已知：平面桁架的形状、尺寸及收载情况如图2-7所示。
kg P cm b cm a 1000,70,100===。
求：（1）桁架支座的支反力是多少？（2）桁架各杆的内力是多少？ 解：（1）支座4和6的支反力为零。
P N P N PN P N P N -==-===3525152312,2,2,23,23，其余为零力杆。
（2）支座8有向上3.9P 的支反力，支座7有向上0.7P 的支反力。
P N P N P N P N P N P N 28.1,28.1,82.2,3.0,1023,453438783727==-===-= P N P N P N -==-=895958,2,6.12-6、（例题）平面刚架的形状、尺寸及受载情况如图2-8所示。
求：结构各杆的内力（N 、Q 、M ）。
解：（1）分析结构组成。
结构是以1-2杆为基本系统用刚结点2、3逐次连接2-3、3-4杆而组成的平面刚架。
结构本身是静定结构。
现用一平面绞1和双绞杆4-5将结构与基础连接，约束正好够，而且4-5杆不过绞1，约束分布合理。
故此结构是具有最少必需约束数的几何不变结构，而且不可移动。
是静定结构。
（2）求各杆内力。
取1-2-3-4整个结构为分离体，由它的平衡求1、4支点反力。
01=∑Ma p a R y ⨯=⨯4 P R y =4∑=0X P R x =1 ∑=0YP R R y x ==41求出支点反力为正值，说明支点反力方向与所设方向一致。
轴力: 剪力： 1-2 P R N y ==112 1-2 P R Q x ==112 2-3 0123=-=P R N x 2-3 P R Q y -=-=123 3-4 P R N y -=-=434 3-4 034=Q 弯矩：1-2 y R M x ⨯=112 01=M a p M ∙=2 2-3 x R pa M y ∙-=123 a p M ∙=2 03=M 3-4 034=M2-7、（例题）已知：混合杆系，结构、尺寸、载荷如图2-9中所示。
求：结构各杆内力（N 、Q 、M ）。
解：（1）分析结构组成。
结构由一平面刚体234用一平面绞2和一双绞杆1-3与基础相连。
约束数等于平面刚体234自由度数，而且1-3杆不通过绞2，分布合理。
故结构是静定结构而且不可移动。
（2）求各杆内力。
①取234为分离体，由234平衡求出双绞杆1-3的支反力。
02=∑Ma P a N 34.145sin 13⨯=⨯⨯ P N 03.313=求出13N 为正值说明13N 轴力方向与所设方向一致。
轴力： 剪力： 4-3 043=N 4-3 P Q =43 1-3 P N 03.313= 1-3 013=Q2-3 P N N 14.245cos 1323-=⨯-= 2-3 P N P Q 14.145sin 23-=⨯-= 弯矩： 4-3 X P M ⨯=43 pa M 6.13=2-3 pa px a X N X P M 428.3143.1)6.1(45sin 1323+-=-⨯⨯-⨯= pa M 6.13= 02=M 1-3 013=M2-8、求：图2-10中所示平面刚架的内力。
（N 、Q 、M ）m L 4.1=，cm a 40=，kg p 1000=解：（1）在1-2段m N PL M P Q N ⋅====14000,,0121212（上侧受压） 在2-3段m N PL M Q P N ⋅====14000,0,232323（右侧受压） 在3-4段Px M P Q N =-==343434,,0（下侧受压） （2）在1-2段0,0,0121212===M Q N 在2-6段0,0,0262626===M Q N在6-4段Px M P Q N ===646464,,0（右侧受压）在4-5段m N L P M Q P N ⋅====70002,0,454545（上侧受压）在5-7段m N LP M N P Q N ⋅==-=-==70002,10000,0575757（左侧受压）在7-3段0,0,0737373===M Q N 在3-1段0,0,0313131===M Q N（3）在1-5段Px M P Q P N ==-=151515,,3（左侧受压） 在5-2段m N M Q P N ⋅==-=8000,0,3525252（左侧受压）在2-6段325,3,0262626PxPa M P Q N -===（上侧受压）在6-3段m N M P Q N ⋅=-==20000,35,0636363（上侧受压）在3-4段0,0,35434343==-=M Q P N2-9、（例题）上端开口的圆形刚框半径为R ，在两侧与水平对称轴相交框上作用有方向相反的力P 。
P 力形成的扭矩由沿圆框均匀分布的常剪流/R)/(πP q =来平衡。
求：框的弯矩，并作弯矩图。
解：（1）静定性的分析及弯矩的计算此开口框是静定刚框。
设任意点)(α<A 处的微元段上剪流q 的合力为dQ ，dQ 对某一截面)(ϕ<的力矩为dM ，B 点至dQ 作用线的距离为γ，e 点至力p 的作用线的距离为p γ，则 αq R d dQ =，)]cos(1[αϕγ--=R ，)sin 1(ϕγ-=R p当2/0πϕ≤≤时)sin ()]cos(1[)]cos(1[)(02ϕϕπααϕαϕαϕϕ-=--=--=⎰⎰PRd qRR qRd M当πϕπ≤≤2时)sin 1()sin (ϕϕϕπ---=PR PRM（2）弯矩图的绘制先计算弯矩图的零点和极值点的位置，再列表计算若干典型截面上的弯矩，最后按一定比例尺绘制弯矩图，见图2-11（b ）所示。
由弯矩表达式可知，当M=0时得下列二式：ϕϕsin = )2/0(πϕ≤≤ ①ϕπϕπsin )1(-=- )2/(πϕπ≤≤ ②由计算法或作图法均可得0=ϕ满足①式，πϕ=满足②式。
由微分学知0=ϕd dM时，M 取极值。
因此当20πϕ≤≤时0,0)c o s 1(==-=ϕϕπγϕRd dM当πϕπ≤≤2时0c o s )c o s 1(=+-=ϕϕπϕpR pRd dM πϕ-=11cos 467.0cos -=ϕ118=ϕ左、右两半圆对应点的弯矩数值相等而符号相反，现将M 值的计算列表如下：2-10求图2-12中所示平面刚框的内力。
解：（1）αααcos ,cos ,sin PR M P Q P N =-=⋅=（右侧受压） （2）)cos 1(,sin ,cos ααα-=-=-=PR M P Q P N （外侧受压）2-11、已知：起落架计算模型尺寸如图2-13所示。
长度单位为cm ，机轮对轮轴的作用力kg P 105001=；kg P 80002=； 求;结构内力并作弯矩图。
二、平面薄壁结构2-16、已知：各杆受载如图2-16所示。
杆长度为L，沿杆轴线剪流qi （i=1,2,3,4,5）为常数。
剪流q的合力与杆端的集中力相平衡。
i求:剪流q，杆内力并作出杆内力图。
i2-17、（例题）田字形平面薄壁结构典型情况如图2-17（a）所示。
杆4-5与杆5-6在节点5处切开，并在切口处加有大小相等方向相反的一对外力p.设p=391kg,a=17cm,b=23cm,c=26cm,d=14cm.求：结构各元件内力并作内力图。
解：（1）分析结构组成：平面格式薄壁结构，内部节点处有切口，故为静定结构。
（2）按判断零力杆端的原则，把轴力为零的杆端标出。
（3）设各板剪流方向如图2-17（b ）所示。
由杆1-7平衡，得 c q d q 71=由杆4-5平衡，得 a q q p )(71+=由杆3-6-9平衡，得 c q d q 93=由杆5-6平衡，得 b q q p )(93+= 式一与式二联立，解出：)/(95.14)(1cm kg p d c a C q =+=)/(05.8)(2cm kg p d c a d q =+=式三与式四联立，解出：)/(05.11)(3cm kg p d c b c q =+=)/(95.5)(9cm kg p d c b d q =+= 所求剪流均为正值，说明剪流方向与所设方向一致。