习题11- 函数1．设函数2,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，求（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2）()(0)f x f x ∆-∆，()(0)f x f x-∆-∆（0x ∆>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；（2）()(0)f x f x ∆-∆⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆-=⎪⎩⎪⎨⎧<∆∆-∆+>∆∆-=∆∆.0,1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x-∆-∆)0(12)2(>∆-=∆-∆-=x x x 。
■2．已知21()1f x x x=+()f x ．【解】令xt 1=，则2111)(t t t f ++=，故2111)(x x x f ++=。
■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-2sin 2cos2)(2sin sin )(21221121212xx x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212xx x x x x x x -⋅-⋅+->-⋅-⋅+-≥012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。
方法2（导数法）∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f ∴),()(+∞-∞∈↑x f 。
■4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。
又∵()f x 在[,]a a -上是奇函数，即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-， ∴)()(21x f x f ->-，即)()(21x f x f <，故()f x 在[,0]a -上也是单调增加。
■――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题21- 极限 1．求下列极限：11(2)3(1)lim(2)3n nn n n ++→∞-+-+； 【解】分之分母同除n 3，利用四则运算极限法则和幂极限可得313)32)(2(1)32(lim =+--+-=∞→n n n L 。
■222111(2)lim(1)(1)(1)23n n→∞--⋅⋅⋅-； 【解】∵)11]()1(11[)411)(311)(211(22222n n ------22222222221)1(1)1(414313212n n n n -⋅----⋅-⋅-= 22222)1)(1()1()2(453342231n n n n n n +-⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=nn n n 21111111121+=+⋅⋅⋅=， ∴2121lim=+=∞→n n L n 。
■ 22(3)lim[(1)(1)(1)]nn r r r →∞+++ (1)r <；【解】∵rr r r r r r r nn -+++-=+++1)1()1)(1)(1()1()1)(1(2222rr r r r r n n--==-++-=+111)1()1)(1(12222 ，∴rrr rrL n n n n -=--=--=++∞→∞→111lim 111lim1122。
■(4)limx ；【解】∵)1()1)(1()1(x x x x x x xx x x ++++-+=-+11111++=++=xxx x， ∴211111lim=++=+∞→xL x 。
■ 3131(5)lim()11x x x →--++． 【解】)1)(1()2)(1(lim 12lim 1)1(3lim 21321321x x x x x x x x x x x L x x x +-+-+=+-+=++--=-→-→-→ 13312lim21==+--=-→x x x x 。
■2．求常数a 和b，使得02lim1x x→-=．【解】∵02lim1x x→=，0lim 0=→x x ，∴02)2(lim=-=-+→b b ax x ，即4=b 。
于是，())24()24)(24(lim2lim0000++++-+=-+→→ax x ax ax x b ax x x 14241lim )24(lim00==++=++=→→aax a ax x ax x x ， ∴4==b a 。
■3．若111()1x xe f x e+=-，求0lim ()x f x -→，0lim ()x f x +→，0lim ()x f x →．【解】∵-∞=-→x x 1lim 0，+∞=+→xx 1lim 0，∴0lim 10=-→x x e ，+∞=+→x x e 10lim 。
从而，1lim 1lim 111lim)(lim 101011=-+=-+=----→→→→xx x x xx x x eeee xf ，111lim 11lim 1111lim 11lim 11lim )(lim 11100-=-+=-+=-+=-+=+∞→+∞→+∞→+∞→=→→++t t t t tt t t tt xt xx x x e e e e e e e e x f ， 故0lim ()x f x →不存在。
■ ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题22- 无穷小与无穷大1．利用等价无穷小的代换求下列极限：0tan(2)ln(1)(1)limsin(3)arctan(2)x x x x x →⋅+⋅； 【解】31232lim=⋅⋅=→x x x x L x 。
■20(2)limsin x x→；【解】)cos 12()cos 12)(cos 12(lim20x x x x L x ++⋅+++-=→ 24122121lim cos 121lim cos 1lim 220020=⋅=++⋅-=→→→x xx x x x x x 。
■21cos(sin )(3)limx x x →-． 【解】21)sin lim (21sin 21lim 20220===→→x x x xL x x 。
■ 2．设ln(12),0,(),10,x x xf x x x +⎧>⎪⎪=⎪-≤<⎪⎩确定正数a 的值，使得0lim ()x f x →存在． 【解】∵ax a x a x x a x a x f x x x 12lim lim)(lim 000=-++=--+=---→→→， 22lim )21ln(lim)(lim 000==+=+++→→→xxx x x f x x x ， ∴当21=a，即41=a 时，0lim ()x f x →存在。
■――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题23- 极限存在准则 1．计算下列极限：30tan sin (1)limx x xx→-； 【解】200020cos 1lim cos 1lim sin lim )cos 1cos 1sin (lim xxx x x x x x x x L x x x x -=-⋅⋅=→→→→ 212111=⋅⋅=。
■ 22sin(2)(2)lim4x x x →--；【解】4141121lim 2)2sin(lim22=⋅=+--=→→x x x L x x 。
■ 2(3)lim()xx x x→∞-； 【解】22222])211(lim [])211[(lim ---∞→--∞→=-+=-+=e xx L xx xx 。
■ 2221(4)lim()1x x x x →∞+-． 【解】212222222)11(lim )11(lim 1111lim e e e xx x x L x x x x x x ==-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-∞→∞→∞→。
■ 2．设110,x=1n x +=(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，试证数列{}n x 的极限存在，并求此数列极限．【证】（1）证明极限的存在性 ·单调性：∵46,10121=+==x x x ，∴010412<-=-x x 。
∵111116666----+-<+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ，∴由数学归纳法可知：01<-+n n x x ，即),2,1(1 =<+n x x n n ，故{}n x 为单调减少数列。
·有界性：只需证明有下界。
显然，0>n x 。
或者由数学归纳法∵,3101>=x 34612>=+=x x ，310623>=+=x x ，396106634=+>+=+=x x ，33661=+>+=-n n x x ，∴{}n x 有下界。
于是，由单调有界收敛准则知：存在极限n n x ∞→lim 。
（2）求极限：设a x n n =∞→lim ，则由16-+=n n x x 求极限可得a a +=6，即0)3)(2(62=-+=--a a a a ，解得：3,2-=a 。
注意到0>n x ，故3=a 。
■――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题24- 连续函数及其性质 1．求函数11()1x xf x e-=-的间断点，并说明其类型．【解】显然，当1,0=x 时，函数无定义，故1,0=x 均为间断点。
∵011)1(lim 0**1lim*100=-=-=---→→e e e xx xx x x ，∴∞=→)(lim 0x f x ，即0=x 为第二类间断点，且为无穷间断点。
∵-∞=-=-=-∞+--→-→-e ee xxxx x x 11)1(lim 1lim111，10111)1(lim 1lim111=-=-=-=-∞---→+→+e eexxxx x x ，∴1)(lim ,0)(lim 11==+-→→x f x f x x ，即1=x 为第一类间断点，且为跳跃间断点。