《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
27、 下列说法不正确的是（24）（1）凡外测度为零的集合都可测 （2）可测集的任何了集都可测 （3）开集和闭集都可测 （4）不存在不可测集28、 设/（x ）是X 上的可测函数，则（4）（1） /（兀）是X 上的连续函数 （2） /（X ）是X 上的勒贝格可积函数 （3） /（x ）是X 上的简单函数（4） /（x ） nJ'表示为一列简单函数的极限 29、设｛£｝是X 上一列可测函数，贝ijsup f n 是X 上的（3n（1）可导函数 （3）可测函数30、下列说法正确的是（1（1）若/（兀）是X 上的Lebesgue 可积两数，则/（兀）在X d.匕上有界;（2） 若/（兀）是X 上的Lebesgue 可积函数,则/（兀）在X 上有界；（3） 若/（兀）是X 上的Lebesgue 可积函数，则/（兀）在火± Riemann 可积;（4） 以上都不对。
31、设/（兀）是X 上的Lebesgue 可积函数，贝ij （ 1 2 3 4 ）(1) |/(x)| Lebesgue ^积； (2) f +Lebesgue 可积；(3) f~ (x) Lebesgue "J 积；(4) .f(x)在X 的任意可测子集上的Lebesgue 可积。
32、下列说法正确的是( 2 3 4)（2）连续函数（4）(1)有界变差函数是单调函数；(2)单调函数是有界变差函数；(3)绝对连续函数是有界变斧函数；(4)Lipschitz函数是绝对连续函数。
00 33、关于A=C\■ (1 一丄,2 +丄、的说法正确的是( 2 4 )H = 11 n n)(1) A是开集(2) A是闭集(3) A = [1,2]⑷ A = (l,2)34、设A =[0,\],则A f,=( 2 )(1) 0⑵(0,1)(3) [0,1]⑷{0,1}35、设/(兀)是上的连续函数，贝IJ对任意实数{x\f(x)>a}是(1)开集(2)闭集(3)可测集(4)零测度集36、设九= 1,2,3,…)是X上几乎处处冇限的可测函数，f n T/,d.e.的(1 )(1)充分条件(2)必要条件(3)充要条件(4)既不充分也不必要条件l,x< 1且兀W37、设/(%) = < 2,X> 1且兀G,则爲心( 4 )2x,x 电£(1) 3(2) 2(3) 1(4) 4则/则(12 4(1 3 ) —> 是38、设/(兀)是X上的可测函数，若｛/(x)<^,JX'X(1)/(X)在X上L可积；(2)/(兀)在X上L积分存在；(3)|/(x)| 在X 上/?可积；(4)/(%)在X上ae有限；39、关于零测度集下列说法正确的是(24 )(1)零测度集是可数集；(2)零测度集的任何子集是零测度集；(3)无穷多个冬测度集的并还是冬测度集；(4)可数多个零测度集的并还是零测度机。
40、设//(X1) = /z(X2)<oo，则X]和X?的关系是(4 )(1) X｝=X2(2) X]UX2 (3) X, z)X2(4)X], X2至多差一个零测度集41、设f:X^X是一个映射，下列正确的是(124 )⑵ r i(AUB)=r1(^)ur1(^)⑴ /(AUB)= /(A)U/(B)⑷ r,(AnB)=r,(A)nr1(s)7? + 1 —\n = 2,3,…),则(3 4n-1(1) A(zB (2) B^A43、下列基数是c的集合为(2 4 (1) (2) (3)44、下列说法正确的是(12 3(1)开集是可测集;(2)闭集是可测集；(3)可数集是零测度集；(4)零测度集是可数集。
45、设y,g,£wM(X),则(12 3 4 (1) fgeM(X)(3) sup / G M(X)(3) AC\B = 0(4) J(A,B)= 0)(4)所有无理数构成的集合)(2) /xzgwM(X)46、设.九,/(〃 = 1,2,3,…)是X上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(2 3 )(1)若心仁则£-/>.仏・⑵若心仁则存在｛九｝为｛£｝的子列，使得九T/4"(3)若f n—> f ,a.u.9则九 t /;(4)若九T/\a.e.,则九47、设于为[a,b].上增函数，则/为(2 3 450、设九 W AT(X)(M = 1,2,…)，则(3 4 )(1)严(九=严/ ⑵ £iim/ = lini£An nn n51、 设M,N 是两集合，则M\(M\N)= ( 3 )(1) M(2) N(3) MflN(4) 052、 设九J© = 1,2,3,…)是X 上几乎处处有限的可测函数，则是九T/的 (1 )(1)充分条件 (2)必要条件(3)充要条件 (4)既不充分也不必要条件53、人0 = 1,2,3,…)是一列集合，则下列正确的是(2 3)8 00liniA,=AUA"T8 ?I =1 m-noo54、设力=U A,基数为C ,则对于4下列说法正确的是(4n=\(2) 4”都是有限集 (4)至少有一个A”是不可数集)(3) T (4) 2C56、关于[0,1] ±的冇限减函数的说法，下列正确的是(13 4(1)绝对连续函数 (3)有界变差函数 (2) nJ'测函数 (4)有界函数0,兀为超越数 1,兀为代数数 (1) 1(2) 0(3) +0049、下列哪些函数是有界变羌函数(13 4(4)以上都不对)(3) Lipschitz 函数(4) 绝对连续函数(1)______ 00 00⑵乔A 严DLKH =1 /n=n<X> 00 ⑶ limA,, =UPl An28W =1 /w =n00 00(4) limA, =UriA刃一>8X 1 1n=l m=n148设 /(%) = - )(1)单调函数 (2)有界函数（1） 是有界变差函数； （2） 是连续函数；（3） 是可测畅数；（4） 是儿乎处处连续的函数。