例5. 计算三重积分
2 2

( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z , 其中
2 2 2 2
为锥面 z x y 与球面 x y z R 所围立体.
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2

z

rR

2 0

V
当 f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) 即被积函数关于z为偶函数时 ， f ( x, y, z )dxdydz 2 f ( x, y, z )dxdydz
V

V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
yoz , zox 对称，且被积 积分区域关于其它坐标平面：
积和式” 极限 下列“乘
0 k 1
lim f ( k ,k , k )vk
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz.
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f ( x, y, z ) 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”)
z x 2 y 2 d xd yd z
成半圆柱体.
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 先二后一 0 za
原式 z d d d z
2
z a
o
y
zd z
0
a

0
2 d
0
2 cos
2 d
2 2 cos x
2 2 2

4
利用对称性
(x 2 y 2 z 2 ) dv

o x
y
用球坐标

2 0
d sin d
4 0

2 4 r dr 0
64 2 1 5 2
2 2 2 2 其中 I ( x 5 xy sin x y ) d x d y d z , 2. 计算
关于 x为奇函 数 ( x2 y2 ) d x d y d z
z
4 1 o
Dz
y
x
f ( x, y, z)dv
d xd y
D z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
方法2. 截面法 (“先二后一”)
( x, y ) Dz : czd
z
d
z
以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
Dz

D f ( x, y, z ) d x d y
球面坐标系 r 2 sin dr d d 变量可分离. * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
适用情况 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
对应雅可比行列式为 J ( x, y, z ) (u , v, w)
原式 =
[(1 4h) ln(1 4h) 4h] 4
h d d z d 2 0 0 1 2 2 h 2 (h ) d 2 0 4 1
1 x
D
1
2
0 2
y
2
d xd y r 2 dz
4
r2 4
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
（2）若空间区域具有轮换对称性，即
( x, y, z) V , ( y, z, x),( z, x, y) V ,
也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f ( x, y, z) f1 ( x, y, z) f1( y, z, x) f1( z, x, y)
坐标面分别为
0 r 0 2 0
球面
半平面 锥面
M ( r , , )
z z
r o x
M
y
r 常数
常数 常数
r sin z r cos
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
z
d
o y ( x, y,0) x
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我 们讲过极坐标的转化 面积微元为 d d d
体积微元 d v d d d z
z
d
因此
f ( x, y, z)dxd ydz F ( , , z ) d d d z
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) R 3 , 其柱坐标为 ( , , z ), 令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
x rsin cos y r sin sin z r cos
f ( x, y, z )dxdydz 3 f ( x, y, z )dxdydz.
1 V V1
2 2 2 4. 设由锥面 z x y 和球面 x y z 4 z 2 所围成 , 计算 I (x y z ) dv . 2 提示:
2
2
I (x y z 2 x y 2 yz 2 xz ) dv
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
0 0 2 z
圆柱面 半平面 平面
z
z
M ( x, y , z )
常数
常数
z 常数
1 2 由 z ( x y 2 ), z 1, z 4 围成 . 2
2 2 2 解: I x d x d y d z 5 x y sin x y d xd yd z
2


利用对称性
1 2 1 4 2 2 d z ( x y ) d x d y Dz 2 1 2 2z 3 1 4 d z d r d r 21 0 0 2 1
rR

2 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
4

d
1 R 5 (2 2) 5

R 2 0
dr
R2 2
( z ) d z
2 2
x
o
y
注：这个式子虽容易写出，但是要 求积分结果非常难，我们能不能找 到更加简便的方法来研究这道题目 呢？
dudvdw
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性
计算三重积分
（1）若空间闭区域关于平面 xoy 对称, 即
( x, y, z ) V , ( x, y, z ) V , 则当 f ( x, y, z ) f ( x, y, z )
即被积函数关于z 为奇函数时, f ( x, y, z )dxdydz 0
lim M 0
( k ,k , k )vk
k 1
n
v k
( k , k , k )
定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) , 若对 作任意分割: vk ( k 1 , 2 , , n), 任意取点 ( k ,k , k ) vk ,
方法2 . 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
方法1 . 投影法 (“先一后二”) z 找 及在 xoy面投影区域D。过D上一点 ( x, y ) “穿线”确定
的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照 二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后 二“这一步。
第三节
三重积分
换元法计算三重积分
一、柱面坐标求三重积分
二、球面坐标求三重积分
回顾 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可得
z

o x d d
d dz
y
其中 F ( , , z ) f ( cos , sin , z ) 适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
其中为由 例1. 计算三重积分 柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
d v r 2 sin d r d d
因此有
dr

r
o
d

d
f ( x, y, z )d xd yd z
x

y
F (r , , ) r 2 sin d r d d
适用范围:
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos ) 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
h
x
o
y
2
2 h
例3. 计算三重积分
2 2

( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z , 其中
2 2பைடு நூலகம்2 2