2013年普通高等学校招生全国统一测试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数z=i ·（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣和业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 4. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x 2+的最大值是( )A. 25-B. ０C. 35D. 25 5. 函数()x x f ln 2=的图象和函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知a ，b 是单位同量，a ·b =0。

若向量c 满足1=--b a c ，则的取值范围是( )A. [12-,12+]B. [12-,22+]C. [1, 12+]D. [1, 22+]7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 212- D. 212+ 8. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1）。

若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 38D. 34二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。

（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧-==a t y t x , (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 2,cos 3y x (ϕ为参数) 的右顶点，则常数a 的值为 . 10. 已知∈c b a ,,R ，a +2b +3c =6，则22294c b a ++的最小值为 .11. 如图2，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A =PB =2，PD =1，则圆心O 到弦CD 的距离为 .(二)必做题（12～16题）12. 若⎰=Tdx x 029，则常数T 的值为 . 13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为 .14. 设1F ，2F 是双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的两个焦点，P 是C 上一点。

若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为30°，则C 的离心率为 .15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()n n n n a S 211--=，+∈N n ，则 （1）1a = ；（2）10021S S S +++ = 。

16. 设函数()x x x c b a x f ++=，其中c >a >0，c >b >0。

（1）记集合M={（c b a ,,）|c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长，且a =b }，则（c b a ,,）∈M 所对应的f （x ）的零点的取值集合为 ；（2）若c b a ,,是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 。

（写出所有正确结论的序号）①()1,∞-∈∀x ，f （x ）>0；②R x ∈∃，使x x x c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则∈∃x (1,2)，使f （x ）=0。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=sin （6π-x ）+cos （3π-x ），g （x ）=2sin 22x 。

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f （α）=533，求g （α）的值； （Ⅱ）求使f （x ）≥g （x ）成立的x 的取值集合。

18.（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。

根据历年的种植经验，一株该X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 421米。

（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）如图5，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC AD //，∠BAD =90°，BD AC ⊥，BC =1，AD =AA 1=3。

（Ⅰ）证明：D B AC 1⊥；（Ⅱ）求直线B 1C 1和平面ACD 1所成角的正弦值。

20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”。

如图6所示的路径MM 1M 2M 3N 和路径MN 1N 都是M 到N的“L 路径”。

某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A （3，20），B （-10，0），C （14，0）处，现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心。

（Ⅰ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区。

请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小。

21.（本小题满分13分）过抛物线E ：py x 22=（p >0）的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且221=+k k 。

l 1和E 相交于点A ，B ；l 2和E 相交于点C ，D 。

以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l 。

（Ⅰ）若k 1>0，k 2>0，证明：22·p <；（Ⅱ）若点M 到直线l 的距离的最小值为557，求抛物线E 的方程。

22.（本小题满分13分）已知a >0，函数f （x ）=a x a x 2+-。

（Ⅰ）记f （x ）在区间[0，4]上的最大值为g （a ），求g （a ）的表达式；（Ⅱ）是否存在a ，使函数y = f （x ）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案一、1—5：BDDCB 6—8：ACD二、9、3 10、12 11、23 12、3 13、9 14、3 15、（1）161- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-12131100 16、（1）{x |0＜x ≤1} （2）①②③ 三、17、解： f （x ）=sin （6π-x ）+cos （3π-x ） =x x x x sin 23cos 21cos 21sin 23++- =x sin 3，g （x ）=2sin 22x =x cos 1-。

（Ⅰ）由f （α）=533得sin α=53，又α是第一象限角，所以cos α>0，从而 g （α）=αcos 1-=α2sin 11--=541-=51。

（Ⅱ）f （x ）≥g （x ）等价于x sin 3≥x cos 1-，即x x cos sin 3+≥1，于是sin （6π+x ）≥21。

从而62ππ+k ≤6π+x ≤652ππ+k ，Z k ∈，即πk 2≤x ≤322ππ+k ，Z k ∈。

故使f （x ）≥g （x ）成立的x 的取值集合为{x |πk 2≤x ≤322ππ+k ，Z k ∈}。

18、解：（Ⅰ）所种作物总株数N =1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11213C C =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为92368=。

（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列。

因为 P （Y = 51）= P （X = 1），P （Y = 48）= P （X = 2），P （Y = 45）= P （X = 3），P （Y = 42）= P （X = 4），所以只需求出P （X = k ）（k =1，2，3，4）即可。

记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物侏数（k =1，2，3，4），则n 1=2，n 2=4，n 3=6，n 4=3由P （X = k ）=Nn k 得 P （X =1）=152，P （X =2）=154，P （X =3）=156=52，P （X =4）=153=51。

Y 51 48 45 42P 152 154 52 51 E （Y ）=51×152+48×154+45×52+42×51=542906434+++=46。

19、解法1：（Ⅰ）如图1，因为⊥1BB 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以1BB AC ⊥。

又BD AC ⊥，所以⊥AC 平面BB 1D 。

而⊂D B 1平面BB 1D ，所以D B AC 1⊥。

（Ⅱ）因为AD C B //11，所以直线B 1C 1和平面ACD 1所成的角等于直线AD 和平面ACD 1所成的角（记为θ）。

如图1，边结A 1D 。

因为棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1=∠BAD =90°，所以⊥11B A 平面ADD 1A 1，从而111AD B A ⊥。

又AD =AA 1=3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是11AD D A ⊥。

故⊥1AD 平面A 1B 1D ，于是D B AD 11⊥。

由（Ⅰ）知，D B AC 1⊥，所以⊥D B 1平面ACD 1，故∠ADB 1=θ-︒90。

在直角梯形ABCD 中，因为BD AC ⊥，所以∠BAC =∠ADB 。

从而Rt ABC ∆～Rt DAB ∆，故ABBC DA AB =，即3·==BC DA AB 。