d 2
求渐证解：ξ→±∞时（4）变为 d 2 =ξ2Ψ 上式解
1 2
Ψ（ξ） e 2
e λ取负值 Ψ（ξ）=+
1 2
2 （要求 ξ→-∞时，Ψ（ξ）有限）
可把
Ψ
写成如下形式
Ψ（ξ）=
1 2
e2
H ( ) ，
要求 ξ→∞时，Ψ（ξ）有限，对 Ψ 求=阶微商
d
dH
e d =(-ξH+ d 2 )
1 2
H0=1→Ψ=A e 2 (ξ=ax)
H1=2ξ→Ψ=Aξ
e
1 2
2
H2=4ξ2—2→Ψ=A(4ξ2—2)
1 2
e2
H3=8ξ3—12ξ→Ψ=A(8ξ3—12ξ)
1 2
e2
ξ… Ψn 的通式 Ψn=Nne–ξ1/2Hn（ξ）
∫Ψ*nΨndξ=1,
(ξ=ax)
N=（
a
1
)2
1
2 2n n!
。
Ψn(x)=
(
a
1
1
)2
1 2
e2
Hn(ξ)
一维线性谐阵子波函数
2 2 n n!
四，经典方法处理
在经典力学中，在 ξ→ξ+dξ 之间找到的粒子几率
ω经典（ξ）dξ 与质点在此区域逗留的时间 dt 成比例。
dt
ω经典（ξ）dξ= T ， T 振动周期。
ω经典（ξ）=
1
d
T
=
1 VT
几率密度与质点建度成反比。
dt
力学量与力学量算符的对应关系
力学量
算符
势能 V(r)→ V^ ( ^r)
P2
动能 T= 2
T^ =
P2
2
= 2 2
2
总能量 E=
P2
P2
2 +V(r)→ H^ = 2 + V^ ( ^r)=
2
2
2
+
V^ (
^r)
角动量→L =r x→p → L^= ^r× p^
Lx=Ypz－Epy→ Ly=Zpx－Xpz→ Lz=Xpy－Ypx→
（T→0 时光的散色实验证明原子有 E0 、 是微观粒子波粒二象的表现，也可用测不准关系式
来说明。）
b. En+1-En =ћω, 线性谐振子能级间隔是均匀的
2）Ψn（ξ
）=(
e H (ξ) a
1 1 2 )2 2
1
2 2n n!
n
n=0，1，2…
当 n=0 时 ,
Ψ0（ξ
）=(
a
1
)1/2
e
1 2
坐标算符就是坐标本身 ^r=r
P2
例如：E= 2 +V→
H^
=
(i)(i)
2
2
+ V(
^r)
=
2 2
2
+V(r)
②算符表示：r → ^r
p→- iћ▽
E
→
iћ▽
→L = →r ×→p
L^= ^r×p=- iћ→r ×▽
如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有
相应的力学量，则表示这个力学量的算符 F^ ， 由经典的 F（r,p）→ F^(r, p^) ③所有的力学都是实数，表示力学量的算符，它的
第四讲 线性谐振子及应用及算符 重点：用薛定谔方程求解线性简振子问题。 难点：波形分析。 一、 基本概念： 1.线性谐振子定义：如果在一维空间内运动的粒子的 势能表示为：1/22ω2χ2, ω是常量，则这种体系为 线性谐振子。
2.适用范围：任何体系在平衡位置附近的小振动： 如：分子振动，晶体的振动等，在选择了适当的坐标之 后，往往可以分解成线性谐振子的振动。
坐标算符和动量算符都是厄米算符
∞
∫ -∞*xΨdx=∫(xΨ)*Ψdx
*
∞
Pxdx=-iћ∫ -∞Ψ*
x
Φdx=-iћΨ*Φ
丨
∞ -∞+iћ∫
∞ -∞
x
Ψ*Φdx
∞
=∫ -∞(
p^ xΨ)*Φdx
p^ x*=(-iћ∂/∂x)*=
iћ
x
（用 ΨΦx→±∞时 Ψ=Φ=0）
第三章 表示力学量的算符
2
,（Hn(ξ) =1）
2
ω0=(
a
1
) e 2
2
e Ψ*0Ψ=（
a
1 2
)
1 2
2
n=1
Ψ1（ξ
）=
a
( 4
1
)2
1 2
e2
2ξ
（H1(ξ) =2ξ）
Ψ*1Ψ1
=
a
2
e-ξ2
ξ=0
Ψ1=0
ξ=±1 时，Ψ1=Ψmax
n=2 同理…Ψn（ξ ）Ψ*n Ψn 等
3）n→
大数
→趋向经典 v（ξ
）=
d dt
2En
a0= w2
1 ①(
-2 a2
)≥0
2 ≤1
a2
ξ2≤a2
a a
粒子在这范围之外在经典物理学禁止运动。
②Ψ0（x）=(
a n
1 1 2
)2 e 2
N=（
a
1
)2
1
2 2n n!
无禁区
Ψn(x)= (
a
1
1
)2
1 2
e2
Hn(ξ)
一维线性谐阵子波函数
2 2n n!
三、讨论 1）En=(n+1 )ћω n=1,2… 2 a. n=0 ，E0 =1 ћω → 零点能（玻尔假设无零点能） 2
1 2 2
d 2 d 2
=[(-H-2ξ
dH d
+
ξ2H+
d 2H
d
1 2
)e 2
代入（4）得
d 2H d 2
-2ξ
dH
d
+(λ－1)
H=0
(6)
用级数解法，把 H 展成幂数，此级数应含有限项
才能在 ξ→±∞时 Ψ（ξ）有限，而级数含有限的条件
是λ为奇数λ=2n+1 n=0,1,2… (7)
把λ代入（3）En=
ω(n+
1 2
)
n=0,1,2…(8)
2.求 Hn(ξ)
对于不同的 n,λ，(6)有不同的解 Hn（ξ）→厄密多项
式：
dn
Hn（ξ）=（-1）ne 2 d n e 2
Hn（ξ）的最高幂 n，系数 2nHn（ξ）满足下列递推关系：
dH n
d
=2nHn-1（ξ）
Hn+1（ξ）—2ξHn（ξ）+2nHn-1（ξ）=0 前六个厄多项式的值：
由对经曲的线性谐阵子 ξ=asin(ωt+δ) 在 ξ
点的速度 V=d =aωcos(ωt+δ)
dt
d
2 1
在 ξ 点的速度 V= dt =aωcos(ωt+δ)=(1- a2 ) 2
ω dx= dx
经典[Biblioteka a(1 2a21
)]2
，丨 x 丨≤a0
ξ=a0sin(ωt+δ)
En= 1 μω2χ2 2
本征值也是实数（可测量的）
④厄米算符：量子力学中表示力学量的算符都是厄米
算符
设 F^是厄米算符则有： ∫ Ψ* F^Φdτ=∫(FΨ)*Φdτ
结论：厄密算符的本征值是实数： 证明：由∫Ψ* F^Φdτ=∫（FΨ* F^Φdτ 设 Ψ=Φ F^Φ=λΦ （(FΨ)*）=λ*Φ 问题：厄米算符都是实数吗？ λ∫Ψ* Ψdτ=λ*∫Ψ* Ψdτ λ∫Ψ* Ψdτ=1 λ=λ* λ是实数 坐标算符和动量算符都是厄米算符
=aωcos(ωt+δ)
=
aω(1-
2
a2
1
)2
ω（ξ
）=
1 VT
=
1
a (1
2
)
1 2
T
a2
证明见上。
第三章 量子力学中力学量
① 算符的定义：算符是指作用在一个函数上得出另一 个函数的运算符号。
例：
E^ =
i t
，
p^ =
i
r
表达式： F^ =β →叫本径值方程， β→ F^的本征值，
是本征值 β 的本征函数