θ
=
t − t∞
− hA τ
= e ρVc
θ0 t0 − t∞
其中的指数：
hA τ = hV ⋅ λA2 τ ρcV λA V 2ρc
= h(V A) ⋅ aτ λ (V A)2
= Biv ⋅ Fov
Bi v
=
h (V
λ
A)
Fo v
=
aτ
(V A ) 2
Fov是傅立叶数
θ
− hA τ
= e ρVc = e −Biv ⋅Fov
θ0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
[ ] hA =
⎡w ⎢⎣ m2K
⎤ ⎥⎦
⋅
m2
=w =1
[ ] ρVc
⎡ ⎢⎣
kg m3
⎤ ⎥⎦
⋅
m3
⋅
⎡J ⎢⎣ kgK
⎤ ⎥⎦
J
s
即与 1
τ
的量纲相同，当 τ
= ρVc
hA
时，则
τ ⋅ hA ρVc
=1
此时
θ = e−1 = 36.8% θ0
上式表明：当传热时间等于 ρVc 时，物体的过余温度
则有：
⎜⎜⎝⎛
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞
=
0
dt = Φ&
(a)
dτ ρc
∵ Φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界
（零维无任何边界）。
∴ 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
− Φ& V = Ah(t − t∞ )
(b)
.
∵ to>t∞物体被冷却，∴ Φ应为负值
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段)
温度分布主要受初始温度 分布控制
温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
Φ Φ1
Bi = r λ = δ λ = δ h
rh
1h
λ
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。
由（a），（b）式得：
ρcV
dt
dτ
= − Ah(t − t∞ ) = Φτ
这就是瞬时时刻导热微分方程式。
方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即
物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量
ρcV
dt
dτ
= − Ah(t − t∞ ) = Φτ
② 物体温度随时间的依变关系
hA(t
−
t∞
)
=
-
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
§3-2 零维问题的分析法—集总参数法
1. 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致
的分析方法。此时， Bi→0 ，温度分布只与时间
有关，即t=f(τ)，与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
2. 温度分布
已知：有一任意形状的物体，其体 积为V，表面积为A，初始温度为 t0，在初始时刻，突然将其置于温度 恒为t∞的流体中，且to>t∞,固体与流 体间的表面传热系数h，固体的物性 参数均保持常数。 求：根据集总参数法确定物体温度 随时间的依变关系
hA
已经达到了初始过余温度的36.8％。
称
ρVc为时间常数，用τ
hA
c
表示。
τ =τc
e θ = −1 = 36 .8 %
θ0
θ 1.0 θ 0 0.8
0.6
0.4
36.8%
0.2
0.0
0
1
2
3
4
Biv ⋅ Fov
如果导热体的热容量(ρcV)小、换热条件好(h大)，那
么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间
h
如图所示，存在两个换热环节：
① 流体与物体表面的对流换热
rh = 1 h
② 物体内部的导热 rλ = δ λ
(2) 毕渥数的定义：
Bi = rλ = δ λ = δh rh 1 h λ
物理意义：固体内部导热热阻与其 界面上换热热阻之比
t
δ
δ tf
h
0
x
⇓
t
δ tf h
0
x
(3) Bi数对温度分布的影响
第三章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念
1. 定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳
态导热，t = f (r，τ )
① 瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推
2. 分类
移逐渐趋近于恒定值；如钢坯在炉内 的加热 ② 周期性非稳态导热：物体的温度随时间做
周期性的变化；如室式热处理炉炉壁 的导热
Φ2
0 τ0
τ
Φ1 — 板左侧导入的热流量 Φ2 — 板右侧导出的热流量
6. 学习非稳态导热的目的
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f (x, y, z,τ ) ; Φ = f(τ )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ) + ∂x
∂ ∂y
(λ
∂t ) + ∂y
∂ (λ
∂z
∂t ) + Φ& ∂z
(3) 求解方法数理方程 高 Nhomakorabea数学 数值分析
分 析 解 法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数 值 解 法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟
7. 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。
tf
(1) 问题的分析
ρVc
dt
dτ
令θ= t－t∞，则有
⎪⎧hAθ
⎨
=
-ρVc
dθ dτ
控制方程
⎪ ⎩
θ (τ
=
0)
= t0
− t∞
= θ0
初始条件
dθ
方程式改写为：
=−
hA
dτ
θ
ρ Vc
∫ ∫ dθ = − hA dτ
θ ρVc
积分
⇒⇒
θ dθ = − hA
τ
dτ
θ0 θ
ρVc 0
⇒ ⇒ ln θ = − hA τ θ0 ρVc
常数 ( ρcV / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电
偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当τ = 4 ρVc 时，θ = 1.83%