柯尔莫哥洛夫，1933年前
苏联数学家柯尔莫哥洛夫总
结前人之大成，提出了概率论 公理体系，即概率论的
公理化定义。
设随机实验E的样本空间为Ω。若按照某种方法，对E的每一事件A赋于一个 实数P(A)，且满足以下公理： 1°非负性：P(A)≥0； 2°规范性：P(Ω)=1； 3°可列（完全）可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1， A2，……，An，……，有 P(A1∪A2∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+……P(An)+……，则称实数 P(A)为事件A的概率。
德.梅勒的朋友认为，既然掷出他选择的点数的机会 是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一 半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。
然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟 糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都 得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就 赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子 之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50% 的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金 币。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数 学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总 结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的 计算》一书，这就是最早的概率论著作 。
伯努利（1654-1705）把概率论的 发展向前推进了一步，于1713年出 版了《猜测的艺术》，指出概率是 频率的稳定值，他第一次阐明了大 数定律的意义。
公元前2250年，大禹治水，根据山川土质， 人口和物质统筹开凿河道；三代（商，东周， 西周）时期实行井田制，根据户口和土地的 统计资料按人分地，同时由于军事和征税的 需要，在各朝各代对土地，人口，财产和年 龄都有统计资料可查并绘有图表，可见描述 性统计学，在我国早已应用，只是缺乏专门 研究，未形成系统知识。
现状——各种随机过程的形成和应用
布朗运动（也叫 维纳过程）
马尔科夫过程 费勒过程
杜布过程
莱维过程 点过程 平稳过程 鞅论
伊藤清，日本数学家，为 解释布朗运动等伴随偶然性的 自然现象，伊藤清提出了伊藤 公式，这成为随机分析这个数 学新分支的基础定理。伊藤的 成果于20世纪80年代以后在金 融领域得到广泛应用，他因此 被称为“华尔街最有名的日本 人”。
概率统计的起源、发展与形成
周杰明 （副教授、硕士生导师） 湖南师大数计院统计与金融数学系、金融保险研究所 湖南工业职业技术学院 2018.7.10
周杰明，1986-，副教授，硕士生导师
2013年6月博士毕业于湖南师范大学概率论与数理统计专业，
师从国家有突出贡献中青年专家杨向群教授（原湘大校长）； 2015年7月博士后出站于南开大学概率论与数理统计专业， 师从中国数学会副理事长郭军义教授； 湖南师范大学世承人才计划优秀青年学者； 我校数学与统计学院 统计与金融数学系副系主任， 我校统计学一级学科博士点学科秘书； 全国精算与保险数学学术会议执委，湖南分会召集人； 概率论与数理统计、统计学、应用统计学三个专业的硕士研 究生导师； 主持国家自然科学基金1项，发表SCI/SSCI论文10多篇。
概率论的起源
故事背景：
德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也 是一个有能力、有经验的赌徒，他经常玩骰子和纸 牌。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数 学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问 题，“点问题” 就是其中之一。一次，德.梅勒和他 的一个朋友每人出30个金币，两人各自选取一个点 数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的 赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数 “5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现 了1次。这时候，德.梅勒由于国王召见必须离开， 游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金 币的赌变量（Random variable）表示随机试验各 种结果的实值单值函数。例如，某一时间内 公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一 定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变 量的实例。 严格的数学定义 随机变量（Random variable）其实就是可测函 数（Measurable Function）
伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域．早在1944年他率先对 Brown运动引进随机积分，从而建立随机微积分或随机分析这个新分支， 1951年他引进计算随机积分的伊藤公式，后推广成一般的变元替换公式，这 是随机分析的基础定理．同时他定义多重Wiener积分和复多重Wiener积分。
概率论及其分支
棣莫佛（1667-1754）发 表了重要著作《机遇原 理》， 书中叙述了概率 乘法公式和复合事件概率 的计算方法，并在1733 年发现了正太分布密度 函数，但他没有把这一 结果应用到实际数据上。
直到1924年才被英国统 计学家 K. 皮尔森 （1857-1936）在一家图 书馆中发现。
高斯（1777-1855）从测量同一物体所引 起的误差这一随机现象独立地发现了正太 分布（也叫高斯分布）的密度函数， 他发现了误差理论，并提出了最小二乘法。
拉普拉斯（1749-1827）也独立地导出了正太分布的密度函 数，他对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概 率的古典定义，他的著作《概率的分析理论》和《概率的哲学 探讨》，他是奠基概率论基础的第一个人，并预言：值得注意 的是，从考虑赌博问题而起始的一门科学，将会成为人类知识 宝库里最重要的主题。
概率天气预报
概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小， 它所提供的不是某种天气现象的\"有\"或\"无\"，某种气 象要素值的\"大\"或\"小\"，而是天气现象出现的可能性 有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有 雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数， 百分数越大，出现降水的可能性越大。一般来讲，概率 值小于或等于30%，可认为基本不会降水；概率值在 30%-60%，降水可能发生，但可能性较小；概率在 60%-70%，降水可能性很大；概率值大于70%，有降水 发生。概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面， 又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。在许多情 况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决 策的需要。
在西方始于公元前3000多年前，埃及金字塔
建造时为征集费用，对全国人口，财产进行 全面统计，到了亚里士多德时代，统计逐渐 往理性演变，统计在卫生，保险，贸易，军 事和行政管理方面的应用都有详细地记载。 统计（Statistics）一词就是从意大利文 （St1857-1918） 在极限定理研究方面作出了开创新 的工作。切比雪夫，马尔科夫，李雅普诺夫三位俄国数学家还 提出了“随机变量”的概念，使得概率论的研究对象从个别 事件，扩大到刻画随机现象的数，由于研究对象的扩大，必然 导致引入其他新概念，如，分布函数，密度函数，分布列等概 念，使得数学分析进入概率论的研究领域。
他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而 争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡， 帕斯卡对此也很感兴趣，但也难住了帕斯卡。
帕斯卡又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国 数学家之间开始了具有划时代意义的通信。总共用了 三年的时间，解决了这一问题，在概率论的历史上， 一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起 始标志。 他们两人多再赌两局即可分出胜负，这两局有4种 可能的结果：5,5、5,3、3,5、3,3。前3种情况都 是甲最后获胜，只有最后一种情况才是乙取胜， 所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币， 乙得15个。
男女出生比例
公元1814年，法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794 －1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载 了一下有趣的统计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法 国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生 数的比值是22：21，即在全体出生婴儿中，男婴占 51.2%，女婴占48.8%．可奇怪的是，当他统计1745－ 1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一 个比是25：24，男婴占51.02%，与前者相差 0.14%．对于这千分之一点四的微小差异，拉普拉斯感 到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四 的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研 究，终于发现：当时巴黎人“重女轻男”，有抛弃男婴 的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎 的男女婴的出生比率依然是22 ： 21．
概率论 随机过程（随机场，超过程） 随机分析 随机（偏）微分方程 倒向随机微分方程 非线性期望 随机控制
解放后我国在概率论研究方面才引起 世界的重视
当代在某些分支方面处于领先，许多分支已经达到
世界前沿阵地。 中国学者在概率论与相关领域的研究上取得了丰硕 成果，主要包括马氏过程与Dirichlet型理论、随机 分析与几何、随机（偏）微分方程、随机网络与复 杂系统、倒向随机方程与非线性期望理论、粒子系 统与超过程理论、极限理论与大偏差、随机控制， 以及概率论在遗传学、经济与金融、物理化学等其 他领域与学科的应用。
统计学
统计学是研究随机数据的搜集、整理、分析
和推断的各种统计方法及其理论背景的一门 科学。概率论是统计学的理论基础。统计学 可分为描述性统计学和分析性统计学。 描述性统计学主要研究数据的搜集和整理 分析性统计学主要研究数据分析和推断
起源——政府事务管理
描述性统计学的产生可以追溯到很久远
目前世界男女比例
21 20 而中国目前男女出生比例 120:100
预计到2020年将会出现3000万“光 棍”
一名优秀数学家＝10个师
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德 国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派 更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军 焦头烂额． 为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学 家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一个随 机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律 性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越 多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人 相遇的概率就越大． 美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域 集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结 果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25 ％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．