专题2动力学中的典型“模型”模型一等时圆模型1.模型特征(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图1甲所示。

(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。

(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

图12.思维模板【例1】如图2所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从a、c处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a到b、从c到d所用的时间，则()图2A.t1＝t2B.t1＞t2C.t1＜t2D.无法确定解析设光滑细杆与竖直方向的夹角为α，圆周的直径为D，根据牛顿第二定律得滑环的加速度为a＝mg cos αm＝g cos α，光滑细杆的长度为x＝D cos α，则根据x＝1 2at 2得，t＝2x a＝2D cos αg cos α＝2Dg，可见时间t与α无关，故有t1＝t2，因此A项正确。

答案 A1.如图3所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。

已知在同一时刻，甲、乙两球分别从A、B两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。

丙球由C点自由下落到M点。

则()图3A.甲球最先到达M点B.乙球最先到达M点C.丙球最先到达M点D.三个球同时到达M点解析设圆轨道的半径为R，根据等时圆模型有t乙>t甲，t甲＝2Rg；丙球做自由落体运动，有t丙＝2Rg，所以有t乙>t甲>t丙，选项C正确。

答案 C2.(2020·合肥质检)如图4所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。

现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ，现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为()图4A.t AB＝t CD＝t EFB.t AB>t CD>t EFC.t AB<t CD<t EFD.t AB＝t CD<t EF解析如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G点，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，t AB>t CD>t EF，选项B正确。

答案 B模型二“传送带”模型1.水平传送带模型项目图示运动情况判断方法情景1可能一直加速，也可能先加速后匀速若v22μg≤l，物、带能共速情景2当v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速；当v0<v时，可能一直加速，也可能先加速再匀速若|v2－v20|2μg≤l，物、带能共速情景3传送带较短时，滑块一直减速达到左端；传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端若v202μg≤l，物块能返回2.倾斜传送带模型项目图示运动情况判断方法情景1可能一直加速，也可能先加速后匀速若v22a≤l，物、带能共速情景2可能一直加速，也可能先加速后匀速，还可能先以a1加速后以a2加速若v22a≤l，物、带能共速；若μ≥tan θ，物、带共速后匀速；若μ<tan θ，物体以a2加速(a2<a)(1)解题关键1：对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。

(2)解题关键2：物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。

【例2】(多选)(2019·陕西榆林三模)如图5所示，绷紧的水平传送带足够长，且以v1＝2 m/s的恒定速率运行。

初速度大小v2＝3 m/s的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面(图中未画出)上的A处滑上传送带，墨块可视为质点。

若从墨块滑上传送带开始计时，墨块在传送带上运动5 s后与传送带的速度相同，则()图5A.墨块与传送带速度相同之前，受到传送带的摩擦力方向水平向右B.墨块在传送带上滑行的加速度大小a ＝0.2 m/s 2C.墨块在传送带上留下的痕迹长度为4.5 mD.墨块在传送带上留下的痕迹长度为12.5 m解析 法一 运动学方法墨块与传送带速度相同之前，相对传送带向左运动，受到传送带的摩擦力方向水平向右，选项A 正确；墨块在摩擦力的作用下匀变速滑行，t ＝5 s 后与传送带速度相同，则墨块加速度大小a ＝v 1－（－v 2）t＝1 m/s 2，选项B 错误；墨块向左匀减速运动过程，对墨块有0＝v 2－at 1，x 1＝0＋v 22t 1，解得该过程用时t 1＝3 s ，墨块的路程x 1＝4.5 m ，t 1时间内传送带的路程x 2＝v 1t 1＝6 m ，墨块向右匀加速运动过程，对墨块有v 1＝at 2，x 1′＝0＋v 12t 2，解得该过程用时t 2＝2 s ，墨块的路程x 1′＝2 m ，t 2时间内传送带的路程x 2′＝v 1t 2＝4 m ，则墨块在传送带上留下的痕迹长度x ＝x 1＋x 2＋x 2′－x 1′＝12.5 m ，选项C 错误，D 正确。

法二 图象法墨块与传送带速度相同之前，相对传送带向左运动，受到传送带的摩擦力方向水平向右，选项A 正确；以水平向右为正方向，画出墨块、传送带的速度—时间图象，如图所示，由v －t 图象斜率表示加速度知，墨块在传送带上滑行的加速度大小a ＝2＋35 m/s 2＝1 m/s 2，选项B 错误；由v －t 图象与坐标轴围成的面积的绝对值表示位移的大小知，墨块在传送带上留下的痕迹长度为12×(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项C错误，D正确。

答案AD【拓展提升1】若将【例2】中的v1、v2的值改为v1＝3 m/s，v2＝2 m/s，求墨块在传送带上留下的痕迹长度。

解析以水平向右为正方向，画出墨块、传送带的速度—时间图象，如图所示，由v－t图象与坐标轴围成的面积的绝对值表示位移的大小知，墨块在传送带上留下的痕迹长度为12×(2＋2)×4 m＋1×4 m＝12 m。

答案12 m考向倾斜传送带解决倾斜传送带问题时要特别注意mg sin θ与μmg cos θ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动的情况。

【例3】(多选)(2020·福建泉州二模)如图6所示，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动。

一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，滑块可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块速度v随时间t变化的图象可能是()图6解析设传送带倾角为θ，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，滑块的质量为m，若μm g cos θ＜mg sin θ，即μ＜tan θ，则滑块所受的合力沿传送带向下，滑块匀加速下滑，选项C正确；若μmg cos θ＝mg sin θ，即μ＝tan θ，则滑块所受的合力为零，滑块匀速下滑；若μmg cos θ＞mg sin θ，即μ＞tan θ，则滑块先匀减速下滑，当速度减为零时，开始反向匀加速上滑，且加速上滑的加速度与减速下滑的加速度大小相等，当加速到与传送带速度相同后，因为μmg cos θ＞mg sin θ，所以滑块随传送带一起匀速运动，选项B正确，A、D错误。

答案BC【拓展提升2】(多选)在【例3】中，若滑块以某一初速度从传送带下端沿传送带向上运动，如图7所示，传送带运动的速度v1小于滑块的初速度v0，其他条件不变，则滑块的速度v随时间t变化的图象可能是()图7解析设传送带倾角为θ，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，滑块的质量为m，由于滑块的初速度v0＞v1，滑块相对传送带向上运动，此时滑块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，滑块受到的合力大小为mg sin θ＋μmg cos θ，加速度大小a1＝mg sin θ＋μmg cos θ＝g sin θ＋μg cos θ，方向沿传送带向下，滑块先做匀减速直线m运动，速度变为v1后，若μmg cos θ≥mg sin θ，即μ≥tan θ，则滑块随传送带做匀速直线运动，选项D正确；速度变为v1后，若μmg cos θ＜mg sin θ，即μ＜tan θ，则滑块受到的合力大小为mg sin θ－μmg cos θ，加速度大小a2＝g sin θ－μg cos θ＜a1，方向沿传送带向下，滑块做类竖直上抛运动，选项C正确，A、B均错误。

答案CD1.如图8所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行。

初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。

若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示。

已知v2>v1，则()图8A.t2时刻，小物块离A处的距离达到最大B.t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大C.0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左D.0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用解析t1时刻小物块向左运动到速度为零，离A处的距离达到最大，A错误；t1～t2时间段，小物块对地向右加速，相对传送带仍向左运动，之后相对静止，B正确；0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右，C错误；t2～t3时间内小物块随传送带一起向右匀速运动，不受摩擦力作用，D错误。

答案 B2.如图9所示，传送带与地面夹角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。

在传送带上端A无初速度地放一个质量为m ＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。

煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。

已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：图9(1)煤块从A到B的时间；(2)煤块从A到B的过程中传送带上形成痕迹的长度。

解析(1)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，煤块加速至与传送带速度相等时需要的时间t 1＝v 0a 1＝1 s ， 发生的位移x 1＝12a 1t 21＝5 m 。

达到v 0后，受到沿斜面向上的摩擦力，则a 2＝g (sin θ－μcos θ)＝2 m/s 2，x 2＝L －x 1＝5.25 m ，x 2＝v 0t 2＋12a 2t 22，得t 2＝0.5 s 。

煤块从A 到B 的时间为t ＝t 1＋t 2＝1.5 s 。

(2)第一过程痕迹长Δx 1＝v 0t 1－x 1＝5 m ，第二过程痕迹长Δx 2＝x 2－v 0t 2＝0.25 m ，Δx 1与Δx 2部分重合，故痕迹总长为5 m 。