完全平方公式的综合应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 请利用完全平方公式计算下列各式：
（1）(a +b )2-(a -b )2=_________； （2）(a +b )2-(a 2+b 2)=_________； （3）a 2+b 2-(a -b )2=__________．
2. 如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小
长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形．
图1
图2
m
n
n m m
n
n m
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2，你能写出三个代数式2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？
➢ 知识点睛
1. 知二求二：
2()a b +，2()a b -，22a b +，ab 有如下关系：
)2
(
因此，已知其中两个量的值，可根据他们之间的关系求解其余两个量的值． 2. 公式逆用：
（1）观察是否符合公式的结构．
（2）两边已知，中间未知，____________；两边未知，中间已知，______________． 3. 最值问题：
若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知__________，因此此多项式有最小值____；若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知___________，因此此多项式有最大值____．
➢ 精讲精练
1. 若2()3a b -=，2()19a b +=，则ab =______，22a b +=______．
2. 若24x y +=，1xy =，则224x y +=______，2(2)x y -=______．
3. 若a +b =4，228a b -=，则22a b +的值是__________．
4. 已知常数a ，b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．
5. 已知a +b =3，ab =1，求22a b +，44a b +的值．
6. 若11a a -
=，则221a a +=________，441
a a
+=________． 7. 已知2410x x ++=，求221x x +，441
x x
+的值．
8. 若2249x axy y -+是完全平方式，则a =________． 9. 若22464x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．
10. 多项式16x 2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可
以加上的单项式共有________个，分别是______________________________． 11. 多项式x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个多项式的完全平方式，则可
以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．
12. 若224250a a b b -+-+=，则a =______，b =______．
13. 若2264130a b a b ++-+=，则22a b +=_____，a b
a b
+-=_____．
14. 设225P a b =+，224Q ab a a =--，若P =Q ，则a =______，b =______．
15. 若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式（其中m ，k 为常数），则m k
+的值为__________． 16. 求2247a b ab -+的最小值．
17. 当x 为何值时，2615x x -+-有最值，等于多少？
【参考答案】
➢ 课前预习
1. （1）4ab ；（2）2ab ；（3）2ab
2. （1）s =(m -n )2 s =(m +n )2-4mn
（2）(m +n )2-(m -n )2=4mn
➢ 知识点睛
2. （2）由两边定中间
由中间凑两边
3. 2()x h k ++
2()0x h +≥ 2()x h k k ++≥ k 2()x h k -++
2()0x h -+≤
2()x h k k -++≤
k
➢ 精讲精练 1. 4 11 2. 12 8 3. 10
4. 7
5. 7 47
6. 3 7
7. 14 194 8. ±12 9. ±32
10. 5
216x -，-1，8x ，-8x ，464x
11. 3 4x ，-4x ，4
16
x
12. 2 1
13. 13 1
5
14. -2 1
2
-
15. -2
16. 最小值为3
17. 3x =时有最大值，最大值为-6．。