第2课时 完全平方公式
知识点 1 完全平方公式
1．填空：(1)(x ＋2)2＝x 2＋2·________·________＋________2
＝__________； (2)(2a －3b )2
＝________2
＋________＋________2
＝__________． 2．下列计算正确的有( )
①(a ＋b )2
＝a 2
＋b 2
； ②(a －b )2
＝a 2
－b 2
； ③(a ＋2b )2
＝a 2
＋2ab ＋2b 2
； ④(－2m －3n )2
＝(2m ＋3n )2
. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．若x 2
＋16x ＋m 是完全平方式，则m 的值是( ) A ．4 B ．16 C ．32 D ．64
4．计算：(1)(2x ＋y )2
＝______________； (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2y 2
＝______________； (3)(－2x ＋3y )2＝______________； (4)(－2m －5n )2
＝______________．
5．计算：(1)(x ＋y )2－x (2y －x )； (2)计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2
；
(3)(x ＋y －3)2
.
知识点 2 完全平方公式的几何意义
6．利用如图8－5－3①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( )
图8－5－3
A ．(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2
B ．(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2
C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
知识点 3 利用完全平方公式进行简便计算
7．计算：3012
＝________．
8．用简便方法计算：20182－4036×2019＋20192
.
知识点 4 与完全平方公式有关的化简求值问题
9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x －1)2
＋x (3－x )，其中x ＝－12.
(2)已知代数式(x －2y )2
－(x －y )(x ＋y )－2y 2
.
①当x ＝1，y ＝3时，求代数式的值；
②当4x ＝3y 时求代数式的值．
10．若x 2
＋kx ＋64是某个整式的平方，则k 的值是( )
A ．8
B ．－8
C ．±8
D ．±16
11．若等式x 2＋ax ＋19＝(x －5)2
－b 成立，则a ＋b 的值为( )
A ．16
B ．－16
C ．4
D ．－4
12．如图8－5－4，从边长为(a ＋4)cm 的正方形纸中剪去一个边长为(a ＋1)cm 的小正方形(a >0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为( )
图8－5－4
A ．(2a 2＋5a )cm 2
B ．(3a ＋15)cm 2
C ．(6a ＋9)cm 2
D ．(6a ＋15)cm 2
13．若xy ＝12，(x －3y )2＝25，则(x ＋3y )2
的值为( )
A ．196
B ．169
C ．156
D ．144
14．已知(x －1)2＝ax 2
＋bx ＋c ，则a ＋b ＋c 的值为________．
15．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a
b c d ，定义
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x ＋1 1－x 1－x x ＋1＝8，则x ＝________． 16．用两种方法计算：(12x －2y )2－(12
x ＋2y )2
.
17.阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a ±b )2
＝a 2
±2ab ＋b 2
，通过配方可对a 2
＋b 2
进行适当的变
形，如a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab 或a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab .从而使某些问题得到解决．例：已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2
＋b 2
的值．
解：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝52
－2×3＝19. 解决问题：
(1)已知a ＋1a ＝6，则a 2
＋1a
2＝________；
(2)已知a －b ＝2，ab ＝3，分别求a 2＋b 2，a 4＋b 4
的值．
18．如图8－5－5所示，已知AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP ，BP 为边作正方形． (1)设AP ＝x ，求两个正方形的面积之和S ； (2)当AP 分别为13a 和1
2
a 时，比较S 的大小．
图8－5－5
完全平方公式答案
【详解详析】
1．(1)x 2 2 x 2
＋4x ＋4
(2)(2a ) (－2·2a ·3b ) (3b ) 4a 2
－12ab ＋9b 2
2．A
3．D [解析] x 2＋16x ＋m ＝x 2
＋2×8x ＋m .
∵x 2＋16x ＋m 是完全平方式，∴m ＝82
＝64.
4．(1)4x 2＋4xy ＋y 2
(2)14
x 2－2xy ＋4y 2
(3)4x 2
－12xy ＋9y 2
(4)4m 2＋20mn ＋25n 2
5．解：(1)原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2
.
(2)原式＝a 2
－1－(a 2
－4a ＋4)
＝a 2－1－a 2
＋4a －4 ＝4a －5.
(3)(x ＋y －3)2
＝(x ＋y )2－2(x ＋y )×3＋32
＝x 2＋2xy ＋y 2
－6x －6y ＋9.
6．A [解析] ∵大正方形的边长为(a ＋b )，∴大正方形的面积为(a ＋b )2
.1个小正方形的面积加上4个长方形
的面积和为(a －b )2＋4ab ，∴(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2
.
7．90601 [解析] 3012＝(300＋1)2＝3002
＋2×300＋1＝90601.
8．解： 原式＝20182－2×2018×2019＋20192＝(2018－2019)2
＝1.
9．解：(1)原式＝x 2－2x ＋1＋3x －x 2
＝x ＋1.
当x ＝－12时，原式＝－12＋1＝1
2
.
(2)原式＝x 2
－4xy ＋4y 2
－(x 2
－y 2
)－2y 2
＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2－2y 2
＝－4xy ＋3y 2
.
①当x ＝1，y ＝3时，原式＝－4×1×3＋3×32
＝－12＋27＝15； ②当4x ＝3y 时，原式＝－y (4x －3y )＝0.
10．D [解析] 由完全平方公式的特点可知，当k ＝±16时，x 2
＋kx ＋64是某个整式的平方．故选D.
11．D [解析] 由已知，得x 2＋ax ＋19＝(x －5)2－b ＝x 2
－10x ＋25－b ，可得a ＝－10，b ＝6，则a ＋b ＝－10＋6＝－4.故选D.
12．D
13．B [解析] (x ＋3y )2＝(x －3y )2
＋12xy ＝25＋12×12＝169.故选B.
14．0 [解析] 将x ＝1代入(x －1)2＝ax 2＋bx ＋c ，得(1－1)2
＝a ＋b ＋c ，则a ＋b ＋
c ＝0.
15．2 [解析] 依题意，得(x ＋1)2
－(1－x )2
＝(x 2
＋2x ＋1)－(1－2x ＋x 2
)＝4x ＝8， ∴x ＝2.
16．解：方法一：原式＝(14x 2＋4y 2－2xy )－(14x 2＋4y 2
＋2xy )＝－4xy .
方法二：原式＝(12x －2y ＋12x ＋2y )(12x －2y －1
2
x －2y )＝x ·(－4y )＝－4xy .
17．解：(1)a 2
＋1a 2＝(a ＋1a )2－2·a ·1a
＝62－2＝34.
(2)a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝22
＋2×3＝10；
a 4＋
b 4＝(a 2＋b 2)2－2a 2b 2＝102－2×32＝100－18＝82.
18．解：(1)S ＝AP 2＋BP 2＝x 2＋(a －x )2＝x 2＋a 2－2ax ＋x 2＝2x 2－2ax ＋a 2
.
(2)当AP ＝1
3
a 时，
S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2
＝1
9a 2＋49a 2＝59a 2；
当AP ＝12a 时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12a 2.
因为59a 2>12a 2，所以当AP ＝1
2a 时，S 更小．。