)
n
n
n
X i ~ N ( i , i2 )
i 1
i 1
i 1
(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.
n
n
n
ai X i ~ N ( ai i , ai 2 i 2 )
i 1
i 1
i 1
两个随机变量的函数的分布
(1) Z=X+Y 的分布
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
连续型的二维随机变量
1.联合概率密度及性质
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv

1 f ( x, y) 0,
2

f (x, y)dxdy 1,
3。F(x, y) x
4.贝叶斯公式
P( Bi A)
P( A Bi )P( Bi )
n
,
P(A Bj )P(Bj )
j1
i 1, 2,L , n
独立性
1. 事件A,B相互独立
P(AB)=P(A)P(B)
2. A1, A2 , ... , An两两相互独立 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) ，（1 i < j n）
3. A1, A2 , ... , An 相互独立
P
（1）
(
Ai1
Ai2
L
Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )L
P( Aik )
1≤i1<i2<...<ik≤n, (k≤n),
（2）P
n
Ak 1 P( A1A2
An ) 1
n
P( Ak )
k1
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ．
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ．
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设事件Ai(i=1,2,…,n)
n
n
的概率. ⁂随机变量的分类：离散型/非离散型(连续型)
2.离散型随机变量及其概率分布
⁂定义: 取有限个或可数个值的随机变量;
⁂分布律：P{X=xk}= pk, k =1,2, …

其中 pk 满足：(1) pk 0, (2) pk 1.
⁂常见分布：
k 1
1）(0-1)分布：P{X=k}= pk(1-p)1-k, k=0,1 (0<p<1)
y
fY ( y)dy
3.独立性 f (x , y) fX (x) fY ( y) ( x, y) R2
正态分布随机变量的一些常用性质
(1)
若
(X,Y ) ~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,

)
,
则
X
~
N
(
1
,

2 1
),
Y
~
N
(2
,
2 2
)
(2) 若
( X ,Y
)
~
N
(
分布函数: FZ (z ) P{Z z} f ( x, y)dxdy
x yz


概率密度:
fZ(z)
f (z y, y)dy

f (x, z x)dx

当X 和Y 相互独立:卷积公式

fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
y

f (u,v)dudv

4 f ( x, y) 2F( x, y) ,在f ( x, y)的连续点. xy
5 P{(X, Y) G} f ( x, y)dxdy,G是一平面区域.
G
2.边缘概率密度
X 的边缘概率密度
fX (x)

f ( x, y)dy,
(2)F(x)是单调不减的,即若 x1 x2 ,则Fx1 Fx2
(3) F lim Fx 0 , F lim Fx 1
x
x
(4) F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x)
(1) 离散型随机变量X的分布函数计算公式
F(x) P{X x} P{X xk } xk x
第一章 随机事件及其概率
• 基本概念
1. 随机试验；2. 样本空间；3. 随机事件
• 事件间的关系
1.子事件：AB 2.和事件：A∪B 3.积事件: AB 4. 差事件: A-B=A-AB=AB 5. 互斥事件(互不相容事件):AB= 6. 互逆事件: AB= ， 且A∪B=S
• 事件的运算法则
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0

2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典概型中事件A的概率的计算公式
P( A)
k n

A包含的基本事 件数 S中基本事件的 总数
几个重要复杂事件概率计算公式
1.条件概率
P(B
A)
P( AB) ,
P( A) 0
P( A)
2.乘法公式 P( AB) P( A)P( A B)
n
3.全概率公式 P( A) P( A Bi )P(Bi ) i 1
x2
e2
2
x
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
X ~ N(, 2)
Z X ~ N(0,1)
F( x) ( x )
P{
x1

X

x2
}


x2





x1



4 随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布律 二、连续型随机变量函数的概率密度
2) 二项分布：X ∼ b(n, p)
pk

P{ X

k
}

C
k n
pk (1
p)nk ,
k 0,1,2,..., n
3) 泊松分布：X ~ ( ) ke
P{X k}
, k 0,1,2,...
k!
3.随机变量的分布函数
⁂定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
• 概率性质
(1) P(φ)=0 ．
(2) (有限可加性) 若A1，A2，… An 两两不相容，
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An) (3) 若A B，则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ;
一般有 P(B – A)=P(B) –P(AB) (4) 对于任一事件A，有P(A)≤1，
4. 随机变量独立性的定义 ( x, y) R2 F( x, y) FX ( x)FY ( y)
离散型的二维随机变量(X,Y)
1.联合分布律：
P{ X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2, )
Y X
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
F(x)=P{X x} ------ 称为X的分布函数
对任意实数x1x2 P{x1 X x2} F(x2 ) F(x1)
P{X x1} 1 F(x1)
⁂分布函数的性质 P{X x1} F(x1) F(x1 0)
(1)有界性 0 F(x) 1, x
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
• 概率公理化定义
设E---随机试验，S---样本空间. 事件A P(A),
称为事件A的概率, 如果P(• )满足下列条件:
1
,
2
,
2 1
,

2 2
,
)
,
则 X与Y相互独立
0
(3)若
X
~
N
(1,
2 1
),
Y
~
N
(
2,
2 2
)
,
且X与Y相互独立,
则
X+Y 仍服从正态分布, 且
推广: 若
Xi
~
N
(
i
,
2 i
),
(i

X
Y
~
N (1,

2
,
2 1
1,2 , n), 且相互独立, 则


2 2
(5) 逆事件： P(A )=1 –P(A)，
(6)(加法公式) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
等可能概型(古典概型)
1.定义：设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.