挑战压轴题----直角三角形的存在性问题1．（10分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．2.（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=41x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是-2． （1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．4.如图，抛物线y=-x 2+bx+c的顶点为D ，与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当四边形OBMC 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC 的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标．5.（2015宜宾）如图，抛物线y=- 1/2x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P 从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．若不能,请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M。

（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由。

，）∴，解得，∴抛物线的解析式为），n=时，线段最大且为．，）作ON=AN=OM=ON+MN==3，则：，解得（与点，）关于对称轴（，x=．（，（）均在线段）或（，2解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，∴y=14×（-2）2=1，A点的坐标为（2，-1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得b＝4-2k+b＝1，解得k＝32b＝4，∴直线y=32x+4，∵直线与抛物线相交，∴32x+4=14x2，解得：x=-2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B的坐标为（8，16）；（2∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m++=m2-16m+320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2-16m+320+325，解得：m=32；∴点C的坐标为（-12，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，14a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，∴AG2+BG2=AB2，∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB2=325．设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，BC2=（m-8）2+162=m2-16m+320，①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2-16m+320，解得：m=-12；②若2+(14a2-1)2=14a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴32x+4=14a2，∴x=a2-166，∴点P的纵坐标为a2-166，∴MP=a-a2-166，∴MN+3PM=14a2+1+3（a-a2-166）=-14a2+3a+9，∴当a=-32×(-14)=6，又∵2≤6≤8，∴取到最小值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．3解：（1）由A （4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB， ∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B （﹣1，0）． 设抛物线的解析式是y=ax 2+bx+x ，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x 2+3x+4；（2）存在．第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ． ∵∠ACP 1=90°， ∴∠MCP 1+∠ACO=90°． ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠MCP 1=∠OAC． ∵OA=OC，∴∠MCP 1=∠OAC=45°， ∴∠MCP 1=∠MP 1C ， ∴MC=MP 1，设P （m ，﹣m 2+3m+4），则m=﹣m 2+3m+4﹣4，解得：m 1=0（舍去），m 2=2． ∴﹣m 2+3m+4=6， 即P （2，6）．第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2，AC 交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F ． ∴P 2N∥x 轴， 由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°， ∴∠FP 2N=45°，AO=OF ． ∴P 2N=NF ，设P 2（n ，﹣n 2+3n+4），则n=（﹣n 2+3n+4）﹣1，解得：n 1=﹣2，n 2=4（舍去）， ∴﹣n 2+3n+4=﹣6，则P 2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P 的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF ． 根据垂线段最短，可得当OD⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由（1）可知，在直角△AOC 中，OC=OA=4，则AC==4，根据等腰三角形的性质，D 是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2， ∴点P 的纵坐标是2． 则﹣x 2+3x+1=2，解得：x=，∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（，0）或（，0）．45解：（1）把A（-2，0），B（4，0），代入抛物线y=-12x2+bx+c得：-2-2b+c＝0-8+4b+c＝0 解得：b=1，c=4，∴y=-12x2+x+4；（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）∴直线BC的解析式为y=-x+4，①根据题意，ON=OM=t，MH=析式为y=-x+4，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，92）代入求得b=72，∴根据题意列方程组：y＝-x+4y＝x+72解得：x＝14y＝154∴F（14，154）当PF⊥BP时，∵点P（1，92），B（4，0），∴直线BP的解析式为：y=-3=-12t2+t+4 ∵ON∥MH∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即t=-12t2+t+4解得：t=22或t=-22（不合题意舍去）把t=22代入y=-12t2+t+4得：y=22∴H（22，22）；②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解+6，∴设PF的解析式为y=23x+b，又点P（1，92）代入求得b=236，∴根据题意列方程组：y＝-x+4y＝23x+236解得：x＝110y＝3910∴F（110，3910），综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（14，154）或（110，3910）．6试题解析：（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动, ∴OP=t,而OC=2,∴P（t,0）,设CP的中点为F,则F 点的坐标为（,1）,∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为（t+1,）；（2）S=∴当t=2时,S最大,最大值为1 （3）∵∠CPD=900,∴∠DPA+∠CPO=900,∴∠DPA≠900,故有以下两种情况：①当∠PDA=900时,由勾股定理得,又,,,即,解得（不合题意,舍去）②当∠PAD=900时,点D在BA上,故AE=3－t,得t=3综上,经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=,∴点D 运动路线的长为．2解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又∵点P的坐标中x＞5，∴MP＞2，AP＞2；∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在R t△AOM中，AM==5，∵抛物线对称轴过点M，∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，设N点的横坐标为t，此时点N（t ，）（0＜t＜5），过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；把x=t代入得：y=﹣x+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣，∴，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：，∴N（，﹣3）。