例 11.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从
该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了 解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情 况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的 抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
个
是已
知
的
,
常
利用
公
式
^
a
＝－y －
^
b
－x 求另一个量,再把 x 的取值代入回归直线方程y^＝b^x
＋a^中,求出y^的估计值.
探究四 独立性检验
例 4 某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》
节目的喜爱与性别是否有关系,随机调查了观看该节目 的观众 110 名,得到如下的列联表：
女 男 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 30 50 总计 60 50 110 试根据样本估计总体的思想,估计约有________的 把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
2.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛 中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分 的方差为________.
【解析】6.8 依题意知,该运动员五场比赛中的得分为 8,9,10,13,15,平均得分－x ＝8＋9＋105＋13＋15＝11, 方差 s2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2 ＋(15－11)2]＝6.8.
(1)求图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成 绩的平均分；
(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x) 与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求 数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
【点评】(1)解决与频率分布直方图有关的问题时, 应正确理解已知数据的含义,掌握图表中各个量的意 义,通过图表对已知数据进行分类.
(2) 在 做 茎 叶 图 或 读 茎 叶 图 时 , 首 先 要 弄 清 楚 “茎”和“叶”分别代表什么,根据茎叶图,我们可方 便地求出数据的众数与中位数,大体上估计出两组数 据平均数的大小与稳定性的高低.
【解析】选 C 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大,而
受性别影响不大,故按学段分层抽样.
2.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做调查, 为此将他们编号为 1,2,3,…,960,分组后在第一组采用 简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人数为( )
【备考建议】
本节考点与实际问题联系紧密,复习中不能依赖记 忆公式和简单的套用公式解题,应在充分认识统计方法 特点的基础上,深刻理解回归分析和独立性检验的基本 思想、方法及初步应用,提高阅读能力,找准数学模型, 经历较为系统的数据处理的全过程,培养对数据的直观 感觉,另外还要有意识地提高运算能力.
探究一 抽样方法
(3) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 , 语 文 成 绩 在 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次 为 0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10 ×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关 系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40×12 ＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之 外人数为 100－(5＋214 D.16
【解析】选 B 每93620＝30 人抽取一人,故在区间[1,450]抽取的人 数为43500＝15.
【点评】(1)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔, 需要抽取几个个体,总体就需要分成几个组,则分段间 隔即为Nn (n 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的 个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个 体.
【解析】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03 ＋0.04)×10＝1,解得 a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知,这 100 名学生语文成绩 的 平 均 分 为 55×0.005×10 ＋ 65×0.04×10 ＋ 75 × 0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分).
【解析】选 B 样本点的中心为(17.5,39), 代入回归直线方程 y^＝－4x＋a^中,得a^＝109, 所以y^＝－4x＋109, 把 x＝15 代入得y^＝49.
【点评】已知变量的某个值去预测与其有线性相
关关系的变量的值时,一般先求出回归直线方程y^＝b^ x
＋
a^ ,
若
^
a
,
^
b
中
有一
探究三 回归分析
例 3 某产品在某零售摊位上的零售价 x(元)与每天 的销售量 y(个)统计如下表：
x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 据上表可得回归直线方程^y＝^bx＋^a中^b＝－4,据 此模型预计零售价定为 15 元时,销售量为( ) A.48 B.49 C.50 D.51
第 8 讲 统计与统计案例
【命题趋势】 本节在高考中主要考查： 1.利用三种抽样方法解决抽样问题；抽样方法中分 层抽样是高考常考点,题型既有选择题也有填空题,属 容易题.命题时多以现实生活为背景,主要考查基本概 念及简单计算. 2.利用频率分布直方图、茎叶图求样本的数据特征, 估计总体的数字特征；估计总体的数字特征是命题的 热点,多与概率统计相结合出题. 3.对相关变量进行回归分析和独立性检验；其考查 力度比往年加大,主要考查独立性检验的意义,多以解 答题出现,难度不大.
(2)分层抽样中要注意按比例抽取各层次的样本数 据,样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例
常数,按这个比例可以确定各层应抽取的个体数与各
层原有的人数,若各层应抽取的个体数不都是整数,则
应当先剔除部分个体,调整总体个数.
探究二 用样本估计总体 例 21.某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分 布直方图如图所示,其中成绩分组区间是： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].