解析几何
解：取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动， 开始时点P恰好在原点O，经过一段时间的滚动， 圆与x轴的切点移到A点，圆心移到C点，这时有 r OP OA AC CP, 设 （CP， CA），于是 （， i CP） （ ）， 2 则CP ia cos （
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
§2.1 平面曲线的方程

解析几何
一、曲线的方程 定义1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系： ①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标； ②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程
再两边平方整理得xy=2，（4）

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方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y 2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同 解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.


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三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动， 而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定
的图形。
概括言之，曲线上的点和方程之间存在着一一对应的关系

解析几何
例1
求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即 OM R，由两点间的距离公式可得 x 2 y2 R， (1)
点P 的轨迹方程

解析几何
解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴 圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP， 设 = （， i OC ）， （CP， CB），则OC （ i a -b）cos + （ j a b） sin ， a ba 且有a AB PB b，所以 = ， （， i CP）= - = ， b b ba ba 又 CP b，所以CP ib cos jb sin b b ab ab ib cos jb sin ， b b ab ab r （ a b ） cos b cos i （ a b ) sin b sin j. b b 此式即为内旋轮线的向量式参数方程，


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2
） ja sin （

2
）=（-asin）（ i -acos） j.
又因为 OA AP a，所以OA a i， AC a j ， 故r a sin i a 1 cos j 即为所求P点轨迹的向量式参数方程， 其中（ )为参数.
MA MB 4
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
2 2 2 2 （x 2） （y 2） （x 2） （y 2） 4，（2） 2 2 2 2 移项得 （x 2） （y 2） （x 2） （y 2） 4， 2 2 两边平方整理得 （x 2） （y 2） x y 2，（3）
x x t , a t b 其坐标式参数方程为： y y t

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例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）

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二、曲线的参数方程
定义2 若取 t a t b 的一切可能取值 ①由 r t x t e1 y t e2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值 t0 a t0 b 通过 r t x t e1 y t e2 a t b 完全决定, 那么就把 r t x t e1 y t e2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。

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取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动， 开始时点P恰好在原点O，设P点的坐标为（x，y）， 可得P点的坐标式参数方程为 x a sin ，（ ) y a 1 cos 取0 时，消去参数，可得P点轨迹 在0 时的普通方程为 a y x=aarccos 2ay y 2 . a
两边平方可得x 2 y 2 R 2 .(2.1.1) 方程（）与（ 1 2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
类似可得圆心在（a，b)半径为R的圆的方程为 （x-a)2 ( y b)2 R2 .

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例2 已知两点A 2, 2 和 B 2, 2，求满足条件 的动点M 的轨迹方程