§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ， 满足下列三条（内积公理）：
① 对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）
§4.1 内积空间和Hilbert§4.2 正交 分解与投影定理 §4.3 Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
③ 正定性：(x, x) 0， (x, x) 0 x 0
则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。源自§4. 2 正交分解与投影定理
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
其中 x1 (,e1), x2 (,e2 ), x3 (,e3)（由正交性可得），即
通过正交性可得到 的唯一分解表达式。
同样在内积空间 U 中，由正交性也可以将 U 中的元素表示 为唯一分解的形式，这将十分有意义。
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
§4.3 广义Fourier分析
在 R3 中， e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1) 是三个相互正 交的单位向量，则对于 R3 ，有唯一分解
x1e1 x2e2 x3e3 ，