2004年浙江省高考数学卷(文科)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则U(M N )=(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2} （2）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）43π(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10（4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （A ）43 （B ）43- （C ）34 （D ）34- （5）点P 从（1，0）出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 （A ）（)23,21-（B ）（)21,23-- （C ）（)23,21-- （D ）（)21,23- （6）曲线y 2=4x 关于直线x=2对称的曲线方程是（A ）y 2=8--4x （B ）y 2=4x —8 （C ）y 2=16--4x （D ）y 2=4x —16 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)“21sin =A ”“A=30º”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=（A ）31（B ） 2 （C ）22（D ）2 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （A ）3πC 11D（B ）4π （C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A ）1716（B ）17174 （C ）54 （D ）552（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。

把答案填在题中横线上。

（13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf ≤5的解集是 。

（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,543== 则AB· BC+BC·CA+CA·AB 的值等于 。

（15）已知平面α⊥β， βα⋂=l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为 。

（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）。

三. 解答题：本大题共6小题，满分74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列。

（18）（本题满分12分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A 。

（Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值。

（19）（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点。

（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ；（Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；（20）（本题满分12分）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）。

假定工厂之间的选择互不影响。

（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。

（21）（本题满分12分）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围。

（22）（本题满分14分）解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双 曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的 取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。

数学（文科）答案一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分。

1.B2.A3. B4.A5.A6.C7.C8.B9.D 10.D 11D 12. B 二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.(]1,∞- 14. –4 15. 5 16. 5三.解答题17. 解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21-又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. (12分) (18) 解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49.(19) (满分12分) 方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE 。

∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE 。

(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF 。

∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角。

在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB = ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF 。

在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ 。

∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=t PF ，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去) 即点P 是AC 的中点。

方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（022，，）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴NE=AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM 。

又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF 。

（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF 。

∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量。

∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·NF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，∴NE 为平面BDF 的法向量。

∴cos<AB,NE>=21 ∴AB 与NE 的夹角是60º。

即所求二面角A —DF —B 的大小是60º。

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0）又∵PF 和CD 所成的角是60º。

∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点。

(20) 解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A, 则16807171)(5==A P . (Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则.24013607345677)(5557=⨯⨯⨯⨯==A B P 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B ,所以.2401204124013601)(1)(=-=-=B P B P (12分) (21) 解: (Ⅰ)由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f(Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-(Ⅲ)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{084.048≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[--2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: )(3122122,1x x a a x 〈+±=所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[--2,2]. (22) (满分14分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y (),0≠k 即0=--k y kx .又因为点M到直线AP 的距离为1,所以,112=+-k k mk得221111kk k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴332≤1-m ≤2, 解得332+1≤m≤3或--1≤m≤1--332.∴m 的取值范围是∈m ].3,1332[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。