全等三角形的提高拓展题教师版Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． 【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE+DF =AE .【例4】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NE B M A D _F _ D_ A _ N _ C _ D【例5】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE 板块二、全等与角度 【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52.已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB =3.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

D C BAN MDCB AC ED B A D C B ADE CBAN M C BAAD BC因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以 AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=ADABACDF21ECDB∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：△AED是等腰三角形。

所以：AE=DE 而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB 作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F 因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC作AG ∥BD 交DE 延长线于GP D ACBFAED C BAGE全等BDEAG=BD=5AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC．延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B 为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中OEDCBAFEDC BAMFECBADC BAFDCBABD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：AF=DE。

因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）FEDCB AEM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 证明： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE 知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。