绝对值不等式
1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，1)
C ．(1,4)
D ．(1,5)
解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意；
当1<x <5时，不等式可化为(x －1)－(5－x )<2，即2x －6<2，解得1<x <4；
当x ≥5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，不成立。

故原不等式的解集为(－∞，4)。

答案 A
2．不等式⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 解析 由已知2∉M ，可得2∈∁R M 。

于是有⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2a －12≤a ， 即－a ≤2a －12≤a ，解得a ≥14，故选B 。

答案 B
3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|
＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)
≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，
当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，
∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。

答案 C
4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。

解析 当a ≤－1时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <a ，x －2a －1，a ≤x ≤－1，3x －2a ＋1，x >－1，
所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1，
由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1；
当a >－1时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，
3x －2a ＋1，x >a 。

所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1，
由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。

综上，实数a 的值为－6或4。

答案 －6或4
5．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________。

解析 函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |的值域为：
[|a －b |，＋∞)，因此，∀x ∈R ，f (x )≥|a －b |>2。

所以，不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集为R 。

答案 R
6．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，则实数a 的取值范围是________。

解析 解法一：令y ＝|x －4|＋|x －3|，
则有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋7，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4，可得y min ＝1，
又因为原不等式有实数解，
所以a 的取值范围是(1，＋∞)。

解法二：|x －4|＋|x －3|的几何意义是x 在数轴上对应点P 到3,4对应的点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |，
通过讨论x >4,3<x ≤4，x ≤3三种情况的点P 位置，
可得|P A |＋|PB |的最小值为1，
又因为原不等式有实数解，
所以a 的取值范围是(1，＋∞)。

解法三：因为|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1，
又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)。

答案 (1，＋∞)
7．设函数f (x )＝x ＋1a ＋|x －a |(a >0)。

(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围。

解 (1)证明：由a >0，有f (x )
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a －(x －a ) ＝1a ＋a ≥2。

所以f (x )≥2。

(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |。

当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212。

当0<a ≤3时，
f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3。

综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52
，5＋212。

8．(2015·甘肃兰州诊断)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a 。

(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围。

解 (1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，
∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，
∴a －3＝－2，∴a ＝1。

(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，
令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，
则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4n ，n ≤－12，4，－12<n ≤12，
2＋4n ，n >12。

∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)。

9．(2015·江西南昌一模)已知函数f (x )＝x |x －a |(a ∈R )。

(1)若a ＝2，解关于x 的不等式f (x )<x ；
(2)若对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，求a 的取值范围。

解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )<x ，即x |x －2|<x 。

显然x ≠0，当x >0时，原不等式可化为|x －2|<1⇒－1<x －2<1⇒1<x <3。

当x <0时，原不等式可化为|x －2|>1⇒x －2>1或x －2<－1⇒x >3或x <1，∴x <0。

综上得：当a ＝2时，原不等式的解集为{x |1<x <3或x <0}。

(2)对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，即－4<x (x －a )<4⇒∀x ∈(0,4]，x －4x <a <x ＋4x 恒成立。

设g (x )＝x －4x ，x ∈(0,4]，p (x )＝x ＋4x ，x ∈(0,4]，则对任意的x ∈(0,4]，x －4x <a <x ＋4x 恒成立⇔g (x )max <a <p (x )min ，x ∈(0,4]。

∵g ′(x )＝1＋4x 2，当x ∈(0,4]时，g ′(x )>0，
∴函数g (x )在(0,4]上单调递增，∴g (x )max ＝g (4)＝3。

又∵p ′(x )＝1－4x 2＝(x －2)(x ＋2)x 2
， ∴p (x )在(0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，
∴p (x )min ＝p (2)＝4。

故a ∈(3,4)。

10．(2016·河北省高三年级三市第二次联考)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|。

(1)求不等式f (x )>1的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围。

解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－22x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1
当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意；
当－2<x <1时，由f (x )＝2x ＋1>1，得x >0，即0<x <1； 当x ≥1时，f (x )＝3>1恒成立，即x ≥1。

综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)。

(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，
由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －
1)|＝3，得f (x )max ＝3)，
即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4。