山东大学《数学分析III》期末复习参考题
题 号 一 二 三 四 总 分
得 分
一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、设uyxarctan，则uy= ___________.

2、函数uxyxyzln的间断点为___________.
3、设向量场A=P(y,z)i+Q(z,x)j+R(x,y)k,则divA=___________.
4、曲线xteyeztettt232222,,在对应于t1点处的法平面方程是
___________.

5、函数zxyarcsin在点（1，13）沿x轴正向的方向导数是___________.

6、设uxyyx2，则22zx=___________.
7、设有平面向量场A=2xyi+(x2+3x)j,则它沿正方形|x|+|y|=1正向的环流量为_________.
8、曲面xyz22450垂直于直线xyz1212的切平面方程是
_________________.
9、根据二重积分的几何意义dxdyyxD224＝_____________.其中D：x2+y2≤4,x

≥0,y≥0.
10、极限limsin()xyxyx0= 。

二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、函数zfxy(,)在点(,)xy处的二阶偏导数fxyxy(,)及fxyyx(,)都存在，则

fxyxy(,)及fxyyx(,)在点(,)xy处连续是ffxyyx
的（ ）

(A)充分而非必要条件； (B)必要而非充分条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。

2、曲线20222zyxzyx在点(,,)011处的法平面方程为（）
（A）xyz0 （B）xy0
（C）20xyz （D）yz0

3、设uxbxycy222，uxuy(,)(,),212160，则22yu=（）
(A) 4 (B) －4 (C) 2 (D) －2
4、单叶双曲面xyz2224231上点M处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，则
点M为（）
（A）4361666,,和4361666,,

（B）4361666,,和4361666,,
（C）4361666,,和4361666,,
（D）4361666,,和4361666,,
5、设L是圆周x2+y2=a2 (a>0)负向，则( )

三、计算题（共 5 小题，30 分）
1、求函数zxyln()22在点Mxy000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导
数。
2、求函数zxxyyx24232的驻点。
3、dSzyx)(，为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分。
四、证明题（10 分）
设ufrr()，其中zyxr,,，ft()可微，证明：沿与r垂直的任一方向上该函
数的方向导数为零。
《数学分析III》期末试卷08答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、xxy22
2、平面yx上的所有点。
3、0

4、01132eyx

5、122

6、23yx
7、6
8、2210xyz

9、34
10、
二、选择题（共 5 小题，20 分）
ACBBA
三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、等值线方程为xyxy220202，外法线向量nxy{,}00，所以

cos,cos
xxyyxy
002020

020
2
(5分)

znxxyyxyxy222
002020

020
2

020
2

coscos
(10分)

2、由02402462yxzyxzyx （6分）
解得驻点：132312,,, （10分）
3、dxdydxdydxdyzzdSyx2)1(011222(5分)



20502125)5cos(2)5(2)(rdrrddxdyxdSzyx

D
(10分)
四、证明题（10 分）

证明：uxfarauyfaraxy''()()

u
z
faraz'()


(4分)

设l0cos,cos,cos与a垂直，则
u
l
faraaaxyz'()(coscoscos)


faral'()()00
(10分)