2 2
2 3 6 2 ，解得R 在RtAOO1中，由勾股定理得， R R , 3 3 4
3
4 3 4 6 6 V球 R . 3 3 4 8
六、寻求轴截面圆半径法
例1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱 长都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
ASC是以AC为斜边的Rt. AC 1 是外接圆的半径，也是 2
V球 4 3
O1
S
D O1 图3 B
C
外接球的半径.故
几何体的内切球
例、正四面体的棱长为a，则其内 切球和外接球的半径是多少？
解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体 棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球 心．设内切球半径为r，外接球半径为R． 正四面体的表面积 S 4 43 a 3a
解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O， 如图3所示.∴由球的截面的性质， 可得 OO1 平面ABCD 又 SO1 平面ABCD ，∴球心O必在 SO1 所在的直线上. A ∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆 的半径就是外接球的半径. 在 ASC中，由 SA SC 2 , AC 2, 得SA2 SC2 AC 2 .
变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 14 .
变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四 棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积 为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、直接法
r
.
a
内切球的直径等于正方体的棱长。
为、已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积为 9 。
2
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外 接球的表面积。
变式题：一个四面体的所有棱长都为 2 ，四 A 个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. 3 B. 4 C.3 3 D. 6
2
乙图 丙图 正方形的对角线 等于球的直径。 球的内接正方体的对 角线等于球直径。
2 S 4 R S甲 4 R1 = 乙 2 =2
S丙 4 R3 2 =3
二、构造法
1、构造正方体
例1、（2012辽宁16）已知正三棱锥P-ABC，点 P,A,B,C都在半径为 3 的球面上，若PA,PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离
2 2 表
图1
正四面体的体积
1 S 表 r V A BCD 3
BO 在 Rt BEO中， 得 R 3r
2
1 3 2 3 2 V A BCD a AE a AB 2 BE 2 3 4 12 2 3 3 a 3V A BCD 6 12 r a S表 12 3a 2
求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
2、构造长方体
已知点A、B、C、D在同一个球面上， BC DC ， AB 平面BCD ，AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则B、C 两点间的球面距离是( 4 ).
3
变式、(2013郑州质检)在三棱锥 A BCD 中，
AB CD 6, AC BD AD BC 5 ,则该三棱 锥的内接球的表面积为 43 。
一、直接法
球内切于正 方体的各条 棱
内切球的直径等于正方体的面对角线长。
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27
甲图 球的外切正方 体的棱长等于 球直径。
3
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧 面、两底面都相切)的表面积为____ 6 R 2，体积____ 2 R 3．
五、构造直角三角形
例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积。
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为 R, AO1 r , 则在ABC中，用解直角三角形知 识得，r 3 1 2 2 , 从而SO1 SA2 AO1 1 , 3 3 3
一、直接法
D A O D1 A1 C1 C 对角面
B

A
C
2R 3
O
设棱长为1
A1
2
C1
B1
球的内接正（长）方体的对角线等于球 直径。
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为 27 .
变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的 4 3 体积为 .
2

3 2 2 3 2 2 3 a a a 3 12 a 12
BE EO
2
2
6 3 2 2 R a 即 R a r ，得 4 3
2013辽宁10
2011辽宁12
三、确定球心位置法
例、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将 矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则 Ｃ 四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125
A. 12

125 B. 9
125 C. 6
125 D. 3
D
A
O 图4 B
C
四、公式法
例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直 于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9 且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个 8 4。 球的体积为