②有一个面是直角三角形，且一条棱垂直该面的三棱锥的外接球 可以补成长方体的外接球
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．
3、常见多面体的外接球及内切球的问题
(1) 正四面体的外接球与内切球（两心在底面的高上重合）
设正四面体的棱长为 a,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r,则 R= 6 a ， 4
r= 6 a , R : r 3:1 12
(2) 正棱锥的外接球与内切球 ① 所有正棱锥的外接球与内切球的球心都在底面的高上
② 求外接球的半径的方法是勾股定理： R2 r2 d 2 （R 为外接球的半径， r 为底面三角形的外接圆的半径，d 为球心到底面的距离。）
梳 理
大家有疑问的，可以询问和交流
聚
焦
考
向
透 析
感 悟 经 典 考 题可以互相讨Fra bibliotek下，但要小声点
课
时
规
范
训
练
Eg2(1)．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶
点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1
＝12，则球 O 的半径为
()
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 边长为 a 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝a，PA ＝PC＝ 2a，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大 半径是________．
(3)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各点都在同一球面上，若 AB＝AC ＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
第2课时 空间几何体的表面积和体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2πrl
πrl
π(r＋r′)l
【知识梳理】
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S 侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S 侧＝πrl
V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2 l2－r2
圆台
S 侧＝π(r1＋r2)l
③
求内切球的半径的方法是等体积法 V
1 3 s表面积r内切
(3) 侧棱长相等的三棱锥的外接球球心在底面的高上（求外接球与内切球
的半径方法同 2）
(4)正棱柱的外接球球心为上下底的中心连线段的中点,利用勾股定理 求外接球的半径，不是所有的正棱柱都有内切球 （5）直三棱柱外接球球心为上下底的三角形外心连线段的中点，,利 用勾股定理求外接球的半径 (6) 长 方 体 的 外 接 球 球 心 为 体 对 角 线 的 中 点 ， 直 径 为 体 对 角 线 长 4R2 a2 b2 c2 （其中 R 为球的半径，a,b,c 为长方体的长宽高） （7）①有公共顶点的三条棱两两垂直三棱锥的外接球可以补成长方 体的外接球