第 7 讲 一元二次方程1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b －4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为：b cx ＋ x ＝－ ，…第一步aaa a 2 cb 2x＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a ab 2 b －4ac x ＋ ＝ 2a 4a，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a－b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步2a(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b －4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b －4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）；2a(2)用配方法解方程：x －2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b －4ac 解：(1)四 x ＝2a(2)移项，得 x －2x ＝24. 配方，得 x －2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4.1 22. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1.3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为 0【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b －4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0；2 2 22 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)x－1＝2(x ＋1)； 1 (3)x ＋3x ＝－ .4【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.Δ＝b －4ac ＝4＋4＝8＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．－b ± b －4ac 2±2 2 ∴x ＝ ＝ ＝1± 2，2a 2即 x ＝1＋ 2，x ＝1－ 2.1 2(2)移项，得 x －1－2(x ＋1)＝0， (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0， 于是，得 x ＋1＝0 或 x －3＝0. ∴x ＝－1，x ＝3.123 2 1 3 2(3)配方，得 x ＋3x ＋ ＝－ ＋ ，x ＋ ＝2.3由此可得 x ＋ ＝± 2.23 3∴x ＝－ ＋ 2，x ＝－ － 2.1 2 2 2针对训练 1(2018，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程 2x －4x －2＝1 的过程中，变形正 确的是(C)A. 2(x －1) ＝1B. 2(x －2) ＝5 5C. (x －1) ＝2 5 D. (x －2)＝23 3 5【解析】 2x －4x －2＝1，2x －4x ＝3，x －2x ＝ ，x －2x ＋1＝ ＋1，(x －1) ＝ .也可以2 2 2 把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例 2 (2018，扬州)如果关于 x 的方程 mx －2x ＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取 1 值范围是（ m ＜ 且 m ≠0 ）.31【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得 m< .但当 m ＝0 时，原方程3 不是一元二次方程，所以 m ≠0.针对训练 2(2018，石家庄桥西区一模)常数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的情况是(B)训练 2 题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则 b －4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根.2 22 2 2 2 2 4 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222针对训练 3 (2018，张家口桥东区模拟)若关于 x 的一元二次方程 两个相等的实数根，则锐角 α等于(D)3 4x ＋ 3x ＋tan α＝0 有 A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝( 3) －4× ∴α＝60°.一元二次方程的实际应用3×tan α＝0.解得 tan α＝ 3. 4例 3 (2018，宜昌，导学号 5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两 种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案) 和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为 Q ，沿江工厂用乙方案 进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算，第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水质 明显改善．(1)求 n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ，三年 来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个 相同的数值 a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年用甲方 案治理降低的 Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值．【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年 40 家，第二年 40(1＋ m )家，第三年 40(1＋m ) 家，三年总和等于 190 家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案 治理降低的 Q 值，再根据第三年用甲方案使 Q 值降低了 39.5，列方程组求解即可． 解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得 40＋40(1＋m )＋40(1＋m ) ＝190. 1 7解得 m ＝ ，m ＝－ (舍去)．1 2 2 2∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1＋m )＝40×(1＋50%) ＝60(家)． (3)设第一年用甲方案治理降低的 Q 值为 x.第二年 Q 值用乙方案治理降低了 100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得x ＋a ＝30， x ＋2a ＝39.5.解得x ＝20.5， a ＝9.5.针对训练 4(2017，白银)如图，某小区计划在一块长为 32 m 、宽为 20 m 的矩形空地上修 建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m .若设道路的宽为 x m ， 则下面所列方程正确的是(A)222 22训练 4 题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x ＝570 【解析】 设道路的宽为 x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练 5 (2017，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次) 的产品生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件 利润增加 2 元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为 14 元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若生产的某档 次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以 2 即为档次提高的量．(2)设生产的是第 x 档次产品，则相 应的产量是 76－4(x －1)，每件利润是 10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080.整理，得 x －16x ＋55＝0. 解得 x ＝5，x ＝11(不合题意，舍去)．1 2答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、 选择题1. 已知关于 x 的方程 x －mx ＋3＝0 的一个解为 x ＝－1，则 m 的值为(A) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【解析】 把 x ＝－1 代入原方程，得 m ＝－4.2. (2018，石家庄 28 中质检)若 x ＋4x －4＝0，则 3(x －2) －6(x ＋1)(x －1)的值为(B) A. －6 B. 6 C. 18 D. 30【解析】 已知条件转化为 x ＋4x ＝4，原式＝－3x －12x ＋18＝－3(x ＋4x)＋18＝6. 3. (2018，石家庄 40 中二模)用配方法解方程 x ＋x －1＝0，配方后所得方程是(C) A. x － ＝1 2 5 C.x ＋ ＝4 B. x ＋ ＝1 2 5 D.x － ＝ 41 1 1 5【解析】 配方过程 x ＋x ＝1，x ＋x ＋ ＝1＋ ， x ＋ ＝ . 44. (2018，唐山路南区一模)已知关于 x 的方程 x ＋mx －1＝0 的根的判别式的值为 5，则 m 的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【解析】 根据题意，得 Δ＝m ＋4＝5.解得 m ＝±1.5. (2018，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数 a ，b ，都有 a ★b ＝a －a ·b ＋b .如：3★5＝3 －3×5＋5.若 x ★2＝10，则实数 x 的值为(C)A. －4 或－1B. 4 或－1C. 4 或－2D. －4 或 2【解析】 根据题意，得 x ★2＝x －2x ＋2.∴x －2x ＋2＝10.解得 x ＝4，x ＝－2. 1 26. (2018，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x －2x ＝0B. x －2x －1＝02 2 2 2 2 2 2 2 2 13 2 24 1 3 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2C.x－2x＋1＝0D.x－2x＋2＝0【解析】选项A，Δ＝4>0；选项B，Δ＝8>0；选项C，Δ＝0；选项D，Δ＝－4<0.7.(2018，娄底)关于x的一元二次方程x－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D. 不能确定【解析】∵Δ＝[－（k＋3）]2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．8.(2018，定西)关于x的一元二次方程x＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)A.k≤－4B.k＜－4C.k≤4D. k＜4【解析】因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.9.(2018，桂林)已知关于x的一元二次方程2x－kx＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A.±26B.±6C.2或3D.2或3【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k－24＝0.解得k＝±2 6.10.(2018，秦皇岛海港区模拟)某城市2015年底已有绿化面积300hm，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底已达到363hm所列方程正确的是(B).设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，A.300(1＋x)＝363B.300(1＋x)＝363C.300(1＋2x)＝363D.363(1－x)＝300【解析】2016年底的绿化面积是300(1＋x)hm，2017年底的绿化面积是300(1＋x)hm，可得方程．11.(2018，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A.9人B.10人C.11人D.12人【解析】设参加酒会的有x人，则每人碰杯(x－1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以x（x－1）x（x－1）共碰杯次，得方程＝55，取正根x＝11.22二、填空题12.(2018，淮安)一元二次方程x－x＝0的根是x＝0，x＝1.12【解析】x(x－1)＝0，得x＝0，x＝1.1213.(2018，秦皇岛海港区模拟)已知x＝1是一元二次方程x＋mx＋n＝0的一个根，则m ＋2mn＋n的值为1.【解析】把x＝1代入方程，得m＋n＝－1，则m＋2mn＋n＝(m＋n)＝1.214.(2018，南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x－2mx＋2n＝0的根，则m－n的值为（1 2）.【解析】把x＝2n代入方程，得(2n)1∵2n≠0，∴2n－2m＋1＝0.∴m－n＝.2－2m·2n＋2n＝0,变形为2n(2n－2m＋1)＝0，15.(2018，邵阳)已知关于x的方程x＋3x－m＝0的一个解为x＝－3，则它的另一个解是x＝0.【解析】把x＝－3代入方程解得m＝0，则原方程为x＋3x＝0，可求出另一个解是x ＝0.16.(2018，唐山丰南区一模)若关于x的方程x 值为9.2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的22222222222222222222222【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ＝36－4c ＝0.解得 c ＝9.17. (2018，威海)关于 x 的一元二次方程(m －5)x ＋2x ＋2＝0 有实数根，则 m 的最大整数 值是 4 .11【解析】 因为方程有实数根， 所以 Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤ .又因为 m ≠5，所以 m 的最大整数值是 4.三、 解答题 18. 解下列方程：(1)x －3x ＋1＝0； (2)x－2x ＝6－3x ； (3)(2x ＋3) ＝8.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3) 用直接开平方法．解：(1)这里 a ＝1，b ＝－3，c ＝1.∵b －4ac ＝(－3) －4×1×1＝5＞0， 3± 5 3＋ 5 3－ 5 ∴x ＝ ，即 x ＝ ，x ＝ .2 1 2 2 2(2)原方程可化为 x (x －2)＝－3(x －2)． 移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0. 于是，得 x －2＝0 或 x ＋3＝0. x ＝2，x ＝－3.12(3)2x ＋3＝±2 2， 2x ＝±2 2－3，－3＋2 2 －3－2 2 x ＝ ，x ＝ . 1 2 2 219. (2018，北京)关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx ＋1＝0. (1)当 b ＝a ＋2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ，b 的值，并求此时方程的根． 【思路分析】 (1)把 b ＝a ＋2 代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由 Δ＝0 得出 a ，b之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b －4a ＝(a ＋2) －4a ＝a ＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b －4a ＝0.令 b ＝2，a ＝1，此时方程为 x ＋2x ＋1＝0， ∴x ＝x ＝－1.1 220. 【发现思考】已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是方程 x －7x ＋10＝0 的两个根，求等腰三角形 ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 【探究应用】请解答以下问题：m 1已知等腰三角形 ABC 的两边长是关于 x 的方程 x －mx ＋ － ＝0 的两个实数根．2 4 (1)当 m ＝2 时，求等腰三角形 ABC 的周长； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2解：x 2－7x ＋10＝0.涵涵的作业a ＝1，b ＝－7，c ＝10.∵b－4a c ＝9＞0，∴x ＝ －b ± b －4ac 7±3 ＝ .2a 2 ∴x ＝5，x ＝2.12∴当腰为 5，底为 2 时，等腰三角形的三条边长分别为 5，5，2. 当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5.第 20 题图【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足 任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5. 错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．【探究应用】(1)当 m ＝2 时， 3方程为 x －2x ＋ ＝0.41 3解得 x ＝ ，x ＝ .1 2 2 21 1 1 3当 为腰时，因为 ＋ < ，所以不能构成三角形．2 2 2 23 3 3 1 3 3 1 7 当 为腰时，等腰三角形的三边长分别为 ， ， .此时周长为 ＋ ＋ ＝ .2 2 2 2 2 2 2 2 (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．∴Δ＝m －4 m 1 － ＝m －2m ＋1＝0.∴m ＝m ＝1，即 m 的值为 1.1221. (2018，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于 25 元的前提下，经过一段时间 销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．(1)若降价 3 元，则平均每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元？【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价 x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x ) 元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元，则平均每天售出(20＋2x ) 件，每件赢利(40－x )元，且 40－x ≥25，即 x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x)＝1 200.整理，得 x －30x ＋200＝0. 解得 x ＝10，x ＝20(舍去)．1 2答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元．22. (2018，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出 一种新型高科技设备，每台设备的成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万 元时，年销售量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售 量 y (单位：台)和销售单价 x (单位：万元)成一次函数关系．2 2 22 22 42(1)求年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元．如果该公司想获得 10 000 万元的 年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总 利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y ＝kx ＋b(k ≠0)．40k ＋b ＝600，将(40，600)，(45，550)代入 y ＝kx ＋b ，得45k ＋b ＝550.k ＝－10，解得b ＝1000.∴年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y ＝－10x ＋1 000.(2)设该设备的销售单价应定为 x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000.整理，得 x －130x ＋4 000＝0. 解得 x ＝50，x ＝80.1 2∵此设备的销售单价不得高于 70 万元， ∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为 50 万元．1. (2018，福建 A ，导学号 5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x ＋2bx ＋(a ＋1)＝0 有两个 相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1 一定不是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根B. 0 一定不是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 C. 1 和－1 都是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 D. 1 和－1 不都是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 【解析】 方程(a ＋1)x ＋2bx ＋(a ＋1)＝0 有两个相等的实数根，则有(2b ) －4(a ＋1) ＝0，且 a ＋1≠0.解得 b ＝a ＋1 或 b ＝－(a ＋1)，且 a ＋1≠0.若 b ＝a ＋1，则－1 是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根；若 b ＝－(a ＋1)，则 1 是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故 1 和－1 不会同时是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根． 2. (2018，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如 x ＋ax ＝b 的方程的图解法是：画 △R t ABC ，a a使∠ACB ＝90°，BC ＝ ，AC ＝b ，再在斜边 AB 上截取 BD ＝ .则该方程的一个正根是(B)2 2A. AC 的长C. BC 的长第 2 题图B. AD 的长 D. CD 的长【解析】 用配方法解方程 x ＋ax ＝b ，易得正根 x ＝a ab ＋ － .据勾股定理知 AB ＝4 2a a a b＋ .∵AD ＝AB －BD ＝ b ＋ － ，∴AD 的长是方程的正根． 4 4 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23. (2017，河北，导学号 5892921)对于实数 p ，q ，我们用符号 min{p ，q }表示 p ，q 两数中较小的数，如 min{1，2}＝1.因此，min{－ 2，－ 3}＝ － 3 ；若 min{(x －1) ，x}＝1， 则 x ＝ 2 或－1 .【解析】 min{－ 2，－ 3}＝－ 3.∵min{(x －1) ，x }＝1，∴当(x －1) ＜x 时，(x －1) ＝1.解得 x ＝2，x ＝0(不合题意，舍去)．当(x －1) ≥x 12x ＝－1. 2时，x ＝1.解得 x ＝1(不合题意，舍去)， 14. (2018，内江 B ，导学号 5892921)已知关于 x 的方程 ax ＋bx ＋1＝0 的两根为 x ＝1， 1x ＝2，则方程 a (x ＋1) ＋b (x ＋1)＋1＝0 的两根之和为 1 . 2【解析】 把(x ＋1)看作一个整体，据已知条件可得 x ＋1＝1 或 x ＋1＝2，所以 x ＝0，x1 2＝1.所以和为 1.2 2 2 2 2 2 22 2 22 2。