数学建模课程设计题目：最佳捕鱼方案第九组：组员一组员二组员三姓名：崔健萍王晓琳吴晓潇学号： ********* ********* ********* 专业：数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学成绩：湖北民族学院理学院二零一五年五月三十一日最佳捕鱼方案问题摘要捕鱼方案问题在实际生活中应用广泛，如何捕鱼投放市场效益最佳这是一个一直需要讨论的问题。

本文通过建立一个数学模型的方式把捕鱼方案问题这种实际问题转化为数学模型的方式进行解答。

在本文中，首先我们对于这个问题进行了分析假设，排除了一些实际生活中不可避免但是我们又无法预计的实际情况，然后对本题进行了分析，选择了最合适的建模方式。

在已知鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变化率随水位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况如下，要求下面几个问题：问题一：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，主要是考虑当随捕鱼量取不同值时，鱼的价格，然后再把其联系在一块，做出其函数关系。

问题二：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，由于是自然放水，所以水的深度和时间是一个一次函数的关系，但水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快。

经过一系列的模型建立与求解最终得出捕捞成本随时间的函数关系。

问题三：当水位下降时捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，据查询的可靠资料，最后得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型，最终得出其函数模型，然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系。

问题四：为取得最大的总经济效益，保证在放水的过程中，每一天都达到了最大的经济效益，其中要考虑到捕鱼成本随水深的变化和损失率随水深的变化，同时水深又是随时间的变化，建立相应的目标规划模型。

关键词：0-1变量规划问题多目标 LINGO一、问题重述该问题阐述的是一个水库的经营商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理。

因此经营商打算放水清库，同时为使捕捞鲜活草鱼投放市场时，获得最佳效益。

现有如下条件：（1）水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，水库水位最低降至5米。

（2）据估计水库内尚有草鱼25000余公斤。

（3）若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和。

（4）关于放水清库的过程的成本计算大致如下：捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

二、问题分析通过简单的分析和思考，我们可以将获得最佳效益视为求解最优值的问题，即该问题可以归为一个数学规划问题。

条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。

在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。

由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。

模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。

而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。

模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。

模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。

三、条件假设1、在整个售鱼的过程中，顾客都只到该经营商处购鱼。

2、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。

3、每日售出的草鱼数量即为当天捕捞的草鱼，不出现有当天捕捞的鱼留到第二天卖的情况。

4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。

高放水的前一天为t=0,则水位降至5米时的那一天为t=20。

故每公斤草鱼的捕捞成本为bt=6-0.15t,草鱼的损失率cn=0.5%t ( t ≤20,t ∈N)5、在模型二、三中，（1）无论造成草鱼损失的原因是什么，我们假设每天草鱼损失的数量为前一天的水库里草鱼的余量乘以当天的损失率。

（2）每日捕捞前均对已死亡的鱼进行处理，使捕捞出的草鱼皆为活鱼，且在运输到售卖点的途中无死亡。

即售出的鱼与当日捕捞的鱼的数量一致。

四、符号及变量说明w ——水库草鱼的总量（M=25000Kg ）h ——水库水位（5≤h ≤15）C ——草鱼的单价(C=30 25 20)bt ——每公斤草鱼的捕捞成本(bn=6-0.15t)ct ——第t 天草鱼的损失率（cn=0.5%t ）t x ——第t 日草鱼的售出量（500≤n x ≤1500）i t ——表示第i 天；w1——第n 天的利润Y ——所有草鱼卖出后所得的钱；Z ——捕捞所有草鱼的成本；i x ——第i 天草鱼的捕捞量；i y ——第I 天每公斤草鱼的售价;i z ——第i 天成本；i m ——第i 天鱼的死亡量；i s ——第i 天的鱼的死亡率；i n ——第i 天鱼的存活率；i w ——第i 天的早上水库的鱼量；i k ——第i 天晚上水库里排除当天的是捕捞量与死亡量剩下的鱼量；i a i b i c i d ：表示0-1规划的变量；i P ：i 天内实际售出的总的草鱼量；五、模型的建立与求解通过查找资料，我们得知草鱼的损失与水位并无直接的联系，通常是由于水中的溶氧量，水温等因素造成的。

模型一：我们令草鱼的损失与水位无关且在假设3的情况下，首先，我们先将条件（3）用数学符号表示出来，则有：每公斤草鱼售价：302520C ⎧⎪=⎨⎪⎩元元元 500500100010001500t t t x kg kg x kg kg x kg ≤≤≤≤≤在该假设下，损失鱼的总量容易求出，为2625公斤。

设第t 天捕捞草鱼t x 公斤，其价为y 元/公斤，则该天的实际捕捞量为(10.5%)t n x - 该天的利润w1为：21(10.5%)()(10.5%)(60.15)(0.000750.180.0056)t t n w t x y bt t x y t x t t ty y =--=--+=-+-+-若t x ≤500kg ，则y=30元，则21(0.000750.0324)t w x t t =-++，对称轴为20。

若500≤t x ≤1000kg ，则y=25元，则21(0.000750.05519)t w x t t =-++，对称轴大于20。

若1000≤t x ≤1500kg ，则y=20元，则21(0.000750.0814)t w x t t =-++，对称轴大于20。

由此可知随着天数的增加，W1值递增。

即当价格不变的情况下，第20天时，当天利润最大。

由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越大。

但市场的容量是有限的，投放量不能超过1500公斤，且随着投放量的增加，价格随着下降。

我们可以通过下表来反映出来。

在该模型下，我们可以采取以下的方案来捕捞鱼。

由损失的鱼量（2625kg ）,计算出水库能够售出的鱼的数量为22375kg 。

方案一，每天捕捞500kg 。

显然，若维持每天的捕捞量不变，1000kg 的利润明显比500kg 的利润多。

故不计算了。

方案二，每天捕捞1000kg 的捕捞量，总利润为38940元。

方案三，价格为20元的情况下，最多维持14天，还剩下的鱼有1375公斤，则第15天，采用25元的售价，售出1000kg ，第16天用20元的价格,售出375kg 。

则在这种情况下的总利润为305460+19656+8898.8=343414元。

方案四，第20天售出1375kg 的情况，另外让售价为25元维持15天（前15天），售价为20元的维持4天（第16天至第19天），这样取得的最大部利润为290670+ 91016+ 22950=404636元。

在这样的假设前提下，我们可以选择方案4，使利润最大。

但是实际情况常常与此不是很符合。

所以我们又对问题进行了进一步的分析，建立了模型二和模型三。

模型二：虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是由于水位的降低造成的。

所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与水位成一次线性关系，且不存在草鱼日供应量大于1500kg 的情况，则有：当时500i x kg ≤，30i y = ；当5001000i x << 时 ，25i y = ；当10001500i x ≤≤：此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，6）；0.02848i i y x =-+；第i 天的售价为[3025(0.02848)]i i i i i i Y a b x c x =++-+且(1,,01)i i i i i i a b c a b c ++==；或 ；所以总售价201[3025(0.02848)]i i i i i i Y a b x c x ==++-+∑ 且(1,,01)i i i i i i a b c a b c ++==；或 ；成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

故此时成本与水位的关系为0.3 1.5Z h =+（515h ≤≤）；因为水位与时间的关系0.515h t =-+；第i 天的成本为[0.3(0.515) 1.5][0.156]i i i i i Z t x t x =-++=-+；所以总成本与时间的关系：202011[0.3(0.515) 1.5[0.156]i i i i i Z t t x ===-++=-+∑∑；存活量：此时假设其损失率与水位成一次线性关系由随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%，且在水位为15米时损失率为0。

故第i 天的损失率与时间的关系1%15%0.01(0.515)0.150.005i i i S h t t =-+=--++= 且(120)i t ≤≤即第i 天的存活率与时间的关系110.005i i i n S t =-=-；第一天早上的存活量125000w =；第i 天早上的存活量为第i-1天早上的存活量与第i 天的存活率之积即11(10.005)i i i i i w w n w t --==-；第一天晚上的存活量111(25000)(10.005)k x t =--； 第 i 天晚上的存活量为第i-1天晚上的存活量减去第i 天的售量与第i 天的存活率之积即1()(10.005)i i i i k k x t -=--；第一天的死亡量111(25000)0.005m x t =-； 第 i 天晚上死亡量为第i-1天晚上的存活量减去第i 天的售量与第i 天的死亡率之积即1()0.005i i i i m k x t -=-；由上可知20天内实际售出鱼的总量为总草鱼量减去总死亡量即20202011225000i i i i P x m m ====--∑∑该模型的纯收入()Y Z -由LINGO 编程求解得，最大利润为373260.0元,草鱼的死亡量为7113.960kg 当且仅当水库放水售鱼的20天的具体情况如下表：第1天 1000kg 第6天 1000kg 第11天 1000kg 第16天 1000kg 第2天 1000kg 第7天 1000kg 第12天 1000kg 第17天 500kg 第3天 1000kg 第8天 1000kg 第13天 1000kg 第18天 500kg 第4天 1000kg 第9天 1000kg 第14天 1000kg 第19天 886.04kg 第5天 1000kg 第10天 1000kg 第15天 500kg 第20天 500kg模型三：虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是由于水位的降低造成的。