§4.8 正弦函数、余弦函数的 图像和性质（4）
————周期性
一、复习：y y=sinx yy==scinoxsx (x1 R)的图像
-4 -3
-2
-
o
-1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
5 6 x
y
y=cosx
-4 -3
-2
1
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
• 1正弦函数、余弦函数的图像是有规律 不断重复出现的；
• 2规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k,kZ重复出现）
• 注意：1周期函数x定义域M，则 必有x+TM, 且若T>0则定义域无上 界；T<0则定义域无下界；
• 2“每一个值”只要有一个反例，则f
(x) 就 不 为 周 期 函 数 （ 如 f (x0)）
(x0+t)f
• 3T 往 往 是 多 值 的 （ 如 y=sinx
2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期
T中最小的正数叫做f (x)的最小正周
期（有些周期函数没有最小正周期
）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为 2 （一般称为周期）
三、y=sinωx, y=cosωx的最小 正周期的确定
• 例1、求下列三角函数的周期： ①y=3cosx
②y=sin(x+ )
3
③y=cos2x
④y=3sin(
x 2
)5
• 小 结 ： 形 如 y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 2
周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之.
• 例2、求下列函数的周期：
1y=sin(2x+ )+2cos(3x- )
4
6
2 y=|sinx|
3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
注意小结这两种类型的解题规律：
⑴两个周期函数的和或差不一定是 周期函数，当且仅当 n 是有理数时 ， 函 数 y=Asin mx±mBcos nx 或 y=Asin mx±Btan nx才是周期函 数 ， 它 的 最 小 正 周 期 T 等 于 Asin mx的周期T1与Bcos nx的周期T2 的最小公倍数。若T1和T2为分数， 那么T可以通过求分子的最小公倍 数除以分母的最大公约数而得。
⑵ 一 般 的 函 数 y=|sin(ωx+φ)| 或 y=|cos(ωx+φ)| 的 最 小 正 周 期 y=sin(ωx+φ) 或 y=cos(ωx+φ) 的 最 小正周期的一半.(这个结论值得记忆
)
四、课堂小结：
• 1、周期函数的定义，周期，最小 正周期
• 2、求某些三角函数的最小正周期 ，一般化函数为同角的同名函数 ，再求周期
• 3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx, os(2k+x)=cosx
结论：象这样一种函数叫做周期 函数。
二、周期函数定义
对于函数f (x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内 的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做 周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。