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定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
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例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
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例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
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例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
yt t 1
(n)
t
n
t 1 t (t 1) (t 1 n 1) t (t 1) (t n 1) ［ t 1 (t n 1)］t (t 1) (t n 2) nt
符号称为差分符号，也称为差分算子.
yt yt 1 yt或
例 1 设yt C(C为常数)，求 yt .
解 yt yt 1 yt C C 0.
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例2 设yt t ，求 yt .
2
解 yt yt 1 yt t 1 t 2t 1.
解 我们已知 yt at (a 1)，
2 yt ［at 1 (a 1)］［ at (a 1)］ at (a 1)2
3 yt ［at 1 (a 1)2］［ at (a 1)2］ at (a 1)3 .
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
第5节 差分及差分方程的基本概念
一、 差分的概念与性质
二、差分方程的概念
第9章
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迄今为止，我们所研究的变量基本上是属 于连续变化的类型，称为连续型变量. 而在经济管理的许多实际问题中，经济变量 的数据大多按等间隔时间周期统计，这些变量为 离散型变量. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离 散型模型. 本节将介绍在经济学和管理科学中最 常见的一种离散型数学模型——差分方程.
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二、差分方程的概念
2 n 形如 F ( t ， y ， y ， y ， ， yt ) 0， 定义3 t t t n yt 一定要在方程中出现. 称为差分方程.
形如 G(t，yt，yt 1，yt 2， ，yt n ) 0， 定义3′ ，yt n中至少有两 也称为差分方程. 但yt，yt 1，
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( n－1)
.
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例4 设yt at (其中a 0且a 1)，求 yt .
解 yt yt 1 yt a a a ( a 1).
t t
t 1
例5 设yt sint，求 yt .
1 1 解 yt sin(t 1) sin t 2cos(t )sin . 2 2
2t (2t 1) (t 1)2 2t (2 1) 2t (t 2 4t 2).
定义2 当自变量从t变到t 1时，一阶差分的差分
称为二阶差分，记为 2 yt
yt (yt ) yt 1 yt
2
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
或者记为 y0，y1， ，yt，yt 1， .
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当自变量从t变到t 1时，函数的改变量yt 1 yt 称 为函数yt 在点t的差分，也称为函数yt的一阶差分， 记为yt，
y t y t 1 y t .(t 0， 1，， 2
一、差分的概念与性质
在连续变化的时间范围内,
dy 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的; dt
在时间t是离散型变量时,
y 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的. t
定义1 设函数yt=y(t).当自变量t依次取遍非负整数 时，相应的函数值可以排成一个数列
y 0，y 1， ，y t ，y t 1， ，
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
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例9 设yt at (其中a 0且a 1)，求2 yt ，3 yt .