山东大学《数学分析III 》期末复习参考题
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、设u x
y =2，则∂∂∂2u x y
=。
2、设u x y y
x =+2，则∂∂∂2u x y
= ___________________。
3、曲面3
2
3
04xy z
xyz ++
=在点(,,)2112-处的切平面方程是
__________________________________。
4、曲线x te y e z t e t
t
t
===232222,,在对应于t =-1点处的法平面方程是______。
5、函数u =(x 2+y 2－z 2)
的等值面方程为__________.
二、选择题（共 10 小题，40 分）
1、设某个力场的力的方向指向y 轴的负向，且大小等于作用点(x ,y )的横坐标的平方。
若某质点，质量为m ，沿着抛物线1－x =4y 2从点(1，0)移动到点(0，)，则场力所做的功
为( )
2、设函数u =2xz 3－yz －10x －23z ,则函数u 在点(1，－2，2)处方向导数的最大值为( ) (A)
(B)
(C) 7 (D) 3 3、设C 为曲线
0≤t ≤
则
( )
4、函数f x y xy x
x y
x (,)sin()=≠=⎧⎨⎪
⎩⎪00
不连续的点集为（ ） (A) y 轴上的所有点
(B)空集(C) x >0且y =0的点集
(D) x<0且y=0的点集
5、函数f x y e xy
(,)=在点(,)01处带皮阿诺型余项的二阶泰勒公式是（ ） （A ）[]
112212
++
+-x x x y !
() （B ）[]()
1122112
22++
+-++-x x x y o x y !
()() （C ）[]()
11222
22++
+++x x xy o x y !
（D ）[]()
111
21211222+-+
-+-+-+()!
()()()x x x y o x y 6、曲线x y R y z R 222222
+=+=⎧⎨⎩
在点R R R 222,,⎛⎝ ⎫
⎭⎪处的法平面方程为（） （A ）-+-=
x y z R 2
（B ）x y z R -+=
32
（C ）x y z R -+=
2
（D ）x y z R ++=
32
7、曲面tan()x y z ++=2302
3
在点(,,)111--处的法线方程为（） （A ）x y z -=
+=+11419（B ）x y z =-=+3410
9 （C ）x y z -=
+-=+-11419（D ）x y z =--=+34109
8、设L 为下半圆周. 将曲线积分
化为定积分的
正确结果是（）
9、函数f (x ,y )在有界闭域D 上有界是二重积分
存在的(
)
(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件； (C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。
10、利用函数f x y x y (,)=2在点(,)11处的二阶泰勒多项式计算1010982
..的近似值，应取
（
）
（A ）()1101
11
210110981+-+-⋅-(.)!
(.). （B ）1101
1
2101098++⋅⋅.!
.. （C ）11012101098++⋅⋅...
（D ）1101
1210110981+-+-⋅-(.)(.)(.) 三、计算题（共 4 小题，20 分）
1、设u x y x y x
y
(,)()arcsin
=+-22，求
∂∂u x x y ==1
2。
2、计算
其中∑是球面x 2+y 2=R 2,R >0,而
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明：u f x y z =(,,)在点()M x y z 0000,,沿过该点等值面f x y z f x y z (,,)(,,)=000法线两个方向的方向导数分别为它在该点处方向导数的最大值与最小值。
其中f x y z (,,)具有连续的偏导数。
2、证明
是不依赖于路径的曲线积分，如果C 是从 (1-，
0)到(5，1)的一段曲线弧，试求曲线积分的值。
《数学分析III 》期末试卷03答案与评分标准
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、-
23
y 2、-
-21
32
y x
3、3ln 218)3ln 412()3ln 26()3ln 3(+=-++-+z y x
4、01132
=+--e y x
5、x 2+y 2－z 2=c
二、选择题（共 10 小题，40 分）
DCABBCDDCD
三、计算题（共 2 小题，20 分）
1、解：u x x (,)22
=
（4分）
d
d (,)x u x x 22= （8分）
∂∂u x
(,)
122=
（10分）
2、记∑1为∑中满足
的部分，∑2为余下部分，因此
（2分）
∑1在xoy 面上的投影域为D ：x 2+y 2≤
∑1的方程为 面积元素
（5分）
⎰⎰
⎰⎰--+=∴
∑
D
y
x R y x y x R S z y x f 2
2
2
22d d )(d ),,(
⎰
⎰-θ=π2
/0
2
2
320
d d R r
R r r R
⎰
-π=R
R
u u R R 2
22d )(2（令222r a u -=）
46
2
58R π-=
（10分） 四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明：()()(){}
000000000,,,,,,,,z y x f z y x f z y x f n z y x '''±= 沿任意方向{}γβαcos ,cos ,cos 0=l 函数f x y z (,,)的方向导数为
()()()∂∂αβγu
l
f x y z f x y z f x y z x y z ='+'+'000000000,,cos ,,cos ,,cos
=⋅=l 0ϕ
（6分）
其中
{}),,(),,,(),,,(000000000z y x f z y x f z y x f g z y x '''=
ϕ为0l 与g 的夹角，因而当cos ϕ取1，即ϕ=0时，
g l
u
=∂∂取最大值；当cos ϕ=-1，即ϕπ=时，
g l
u
-=∂∂取最小值。
故沿n 的两个方向，f x y z (,,)的方向导数分别取最大值和最小值。
（10分）
2、证明：y x y x P sin 2),(=，223cos ),(y y x y x Q -=
x
Q y x y P
∂∂=
=∂∂cos 2
，∴曲线积分与路径无关（4分） ⎰--+=
)
1,5()0,1(22d )3cos (d sin 2y y y x x y x I
⎰⎰
-+
⋅⋅=-1
22
5
1
d ]3cos )
5[(d 0sin 2 y y y x x （7分）
103]sin 25[0y y -+= 11sin 25-=（10分）。