2006年高考试题与答案-全国卷1数学理2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一．选择题 （1）设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则（A ）=N M I ∅ （B ）M N M =I（C ）M N M =Y（D ）=N M Y R（2）已知函数x e y =的图像与函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称，则（A ）∈=x e x f x ()2(2R ） （B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ） （C ）∈=x e x f x (2)2(R ） （D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ） （3）双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （A ）41- （B ）－4 （C ）4（D ）41 （4）如果复数)1)((2mi i m++是实数，则实数m =（A ）1（B ）－1 （C ）2（D ）－2（5）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为 （A ）∈+-k k k ),2,2(ππππZ （B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ（C ）∈+-k k k ),4,43(ππππZ （D ）∈+-k k k ),43,4(ππππZ （6）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则（A ）41 （B ）43 （C ）42（D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （8）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是 （A ）34 （B ）57 （C ）58（D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0. 如果平面向量b 1、b 2、b 3满足i iia ab 且|,|2||=顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i =1，2，3，则 （A ）0321=++-b b b （B ）0321=+-b b b （C ）0321=-+b b b （D ）0321=++b b b（10）设}{na 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则 131211a a a ++=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 （11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（A）58cm2（B）106cm2（C）553cm2（D）20cm2（12）设集合}5,4,3,2,1{ I，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（A）50种（B）49种（C）48种（D）47种第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上.（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 .（14）设x y z -=2，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥-,1,2323,12y y x y x则z 的最大值为 .（15）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有种.（用数字作答） （16）设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ= .三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时,2cos 2cos CB A ++取得最大值,并求出这个最大值.（18）（本小题满分12）A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数. 求ξ的分布列和数学期望. （19）（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM = MB = MN .（Ⅰ）证明NB AC ⊥；（Ⅱ）若ο60=∠ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM +=. 求： （Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）|OM |的最小值.（21）（本小题满分14分） 已知函数.11)(axe xx x f --+=（Ⅰ）设0>a ，讨论)(x f y =的单调性；（Ⅱ）若对任意)1,0(∈x 恒有1)(>x f ，求a 的取值范围. （22）（本小题满分12分） 设数列}{na 的前n 项的和Λ,3,2,1,32231341=+⨯-=+n a S n nn（Ⅰ）求首项1a 与通项na ；（Ⅱ）设,,3,2,1,2Λ==n S T nnn 证明：∑=<ni iT123.2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一．选择题（1）B （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B（7）C （8）A （9）D （10）B （11）B（12）B 二．填空题 （13）3π （14）11 （15）2400（16）6π三．解答题（17）解：由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cos AC B =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212AA +-=.23)212(sin 22+--=A当.232cos 2cos ,3,212sin 取得最大值时即C B A A A ++==π （18分）解：（Ⅰ）设A 1表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2，B 1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2，依题意有.943232)(,9432312)(21=⨯==⨯⨯=A P A P .2121212)(.412121)(10=⨯⨯==⨯=B P B P所求的概率为P = P （B 0·A 1）+ P （B 0·A 2）+ P （B 1·A 2）= 942194419441⨯+⨯+⨯ .94=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B （3，94）,729125)95()0(3===ξP,243100)95(94)1(213=⨯⨯==C P ξ ,2438095)94()2(223=⨯⨯==C P ξ.72964)94()3(3===ξPξ的分布列为 ξ 0123p 72912524310024380 72964数学期望.34943=⨯=ξE （19）解法：（Ⅰ）由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN I l 1 = M ， 可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM = MB = MN ， 可知AN = NB 且AN ⊥NB 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，∴ AC ⊥NB（Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB ， ∴ AC = BC ，又已知∠ACB = 60°，因此△ABC 为正三角形。
∵ Rt △ANB = Rt △CNB 。
∴ NC = NA = NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角。
在Rt △NHB 中，.36cos 2233===∠ABAB NBHBNBH解法二：如图，建立空间直角坐标系M －xyz ， 令 MN = 1，则有A （-1，0，0），B （1，0，0），N （0，1，0）。
（Ⅰ）∵MN 是l 1、l 2的公垂线，l 2⊥l 1， ∴l 2⊥ 平面ABN ， ∴l 2平行于z 轴，故可设C （0，1，m ） 于是),0,1,1(),,1,1(-==m ,00)1(1=+-+=⋅Θ∴AC ⊥NB .（Ⅱ）.||||).,1,1(),,1,1(m m =∴-==Θ 又已知∠ABC = 60°，∴△ABC 为正三角形，AC = BC = AB = 2.在Rt △CNB 中，NB =2，可得NC =2，故C ).2,1,0(=连结MC ，作NH ⊥MC 于H ，设H （0，λ，λ2）（λ> 0）. ).2,1,0(),2,1,0(=--=∴λλ .31,021=∴=--=⋅λλλΘ ).32,31,1(,),32,32,0(),32,31,0(-=-=∴BH H 则连结可得 ,,,092920H BH MC BH HN BH HN =⊥∴=-+=⋅IΘ又∴HN ⊥平面ABC ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角. 又).0,1,1(-= .362cos 3234=⨯==∠∴NBH（20）解：（Ⅰ）椭圆的方程可写为 12222=+b x a y ，式中⎪⎩⎪⎨⎧==->>2333 ,022ab a b a 且得1,422==b a，所以曲线C 的方程为)0,0( 1422>>=+y x y x2212),10( 12x xy x x y --='<<-=设),(00y x P ，因P在C 上，有020004|,12,100y x y x y x x x -='-=<<=，得切线AB 的方程为 .)(4000y x x y xy +-=设A （x ，0）和B （0，y ），由切线方程得.4,100y y x x ==由 OM +=的M 的坐标为（x ，y ），由0,y x 满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为).2,1(14122>>=+y x yx（Ⅱ）∵222||y x+=144114222-+=-=x xy∴9545141||222=+≥+-+-=x x OM且当13,14122>=-=-x x x即时，上式取等号，故OM 的最小值为3。