证明: Q π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字,精确到小数点后第 3 位.
有效数字和相对误差的关系
Th1. 若近似数 x 有n 位有效数值，则其相对误差限为
|
er (x)
|
1 2a1
10 ( n 1)
(z)

n
|
k 1
f xk
| (xk )
数据误差对算术运算影响
(1) (x1 x2 ) (x1) (x2 )
(2) (x1 x2 ) | x1 | (x2 ) | x2 | (x1)
(3)

(
x1
/
x2
)

|
x1
|

(
x2
) | x2 2
一个应用: 2进制数转换为10进制数 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=238
➢求多项式值的秦九韶算法 P(x)=a0+ a1x + a2 x2 + ······+ an xn
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型
观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数 的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解数 学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引 起的误差 舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五 入的办法取近似值，由此引起的误差.
取 r = 50 cm, 则有 (R) 0.5 cm
(S) ≈150 cm2,
r ( S ) ≈2×1%=2%
反问题: 估计 (R), r (R)
➢ 数值计算中的基本原则
(1)避免绝对值小的数做除数;
(2)避免两相近数相减;
(3)防止大数“吃”小数现象
a = 109，b = 9，设想在8位浮点数系中相加 a + b =1.0000000 ×109+ 0.000000009 ×109
教材 (Text Book) 现代数值分析 蔺小林、蒋耀林 编著（国防工业出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ）
修改算法
x1

8
1
63

1 15.937

0.062747
( x1)

(15.937)
(15.937)2

0.0005 (15.937)2

4位有效数
0.000005
例2. 圆面积计算的误差估计
圆面积计算公式: S R2 全微分近似: S 2RR
(S) 2R (R) r (S) 2 r (R)

0

10 1 101 0
2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification )
εr
(
x)

|
ε x
|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 L(其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
数字，精确到x 。
10mn
例： 3.1415926535897932L L ; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
绝对误差 ( absolute error )
e(x) x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e( x) | 的上限记为 ε, 称为绝对误差限( accuracy )
工程上常记为 x* x ε
工程数值分析题解
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
Introduction
数值分析
能够做什么？
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
反之，若x 的相对误差限满足：
|
er (x)
|
1 2(a1 1)
10(n1)
则x 至少有n 位有效数字。
证：记 x 10m (a1 101 a2 102 L an 10n)
则 a1 10m1 | x | (a1 1)10m1
所以
| er (x) |
算法的优劣：
评价标准：(1) 计算量的大小
例：计算 Pn (x) a0xn a1xn1 L an1x an
直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。 迭代计算：Pn (x) {[(a0x a1)x a2 ]x L a n1}x an
按下列迭代公式计算
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第八章的内容：数值积分）
➢三种常用的技术:
（1）求未知数据的迭代计算技术 （2）连续模型离散化处理技术 （3）离散数据的连续化处理技数值计算的实施方法。即把对数学问题的解 法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并有确 定运算次序的完整而准确的描述。
由于只保留8位有效数，数据09被舍去,实际加法 操作 a + b计算结果是 将 a 的数据作为计算结果 赋值给 a+ b.
(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)
例 计算 P(x) = 1+ 2 x +3 x2 + 4 x3 + 5 x4 的值 P(x)=1+ x (2 + x ( 3 + x (4+ 5 x)))
获取数据
在平面的投影
数值方法、程序
R

D
dxdy R2 x2 y2
数据结果
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第四章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve： ( x 1)100 0
Can you solve：
x100 100x99 4950x98 161700x97 3921225x96 L 100x 1 0
算法的特点：
➢ 构造性 ➢ 能够通过数值演算 ➢ 一种实施方法
算法的可用性（算法的稳定性）：
理论上很完美的算法，在计算机上未必可用。
例1：Gramer 法则解线性方程组：n 阶方程组需计 算 n + 1 个行列式的值，每一个行列式的值需 (n 1) n! 次乘法，共需 (n 1) (n 1) n! 次 乘法。
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差 ( relative error )
er
(x)

e( x) x*
如果存在一个适当小的正数εr ，使得
er (x)
e(x) x

x x x
r
称εr(x)为相对误差限。由于精确值 x*一般是未知的
x 的相对误差限常定义为
例2：如建立
In
1 xn d x 0 x5
( n 0,1, 2,L ,8)
的递推公式并作实际计算。
解: (1) 易知
In 5In1
1 xn 5xn1 d x 0 x5
x1 n1 d x 1
0
n
所以
In

5In1

1 n
( n 1, 2,L ,8)
反之易得。
|
x x* |x|
|

1 2
10mn
a1 10m1

1 2a1
10(n1)
注：定理表明，有效数字的位数越多，相对误差越小
1. 一元函数 y= f (x)误差分析 ( 准确值 y*=f (x*) ) 由Taylor 公式
f ( x*) f ( x) ( x * x) f ( x) ( x * x)2 f ( )
u0 a0 uk x uk 1 ak

Pn
(
x)

un
, k 1, 2,L , n
只需 n 次乘法和 n 次加法。
(2) 存储量的多少 (3) 逻辑结构是否简单
二、数值分析的特点
1. 近似：由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1

原点附近
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）