北京交通大学远程教育课程作业年级：层次：专业名称：课程名称：作业序号：学号：姓名：作业说明：1、请下载后对照网络学习资源、光盘、学习导航内的导学、教材等资料学习；有问题在在线答疑处提问；2、请一定按个人工作室内的本学期教学安排时间段按时提交作业，晚交、不交会影响平时成绩；需要提交的作业内容请查看下载作业处的说明3、提交作业后，请及时查看我给你的评语及成绩，有疑义请在课程工作室内的在线答疑部分提问；需要重新上传时一定留言，我给你删除原作业后才能上传4、作业完成提交时请添加附件提交，并且将作业附件正确命名：学号课程名称作业次数《概率论与数理统计》习题二第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、设二维随机变量（X，Y则P{XY=2}=（）A． B. C. D.2、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则当时，（X，Y）关于X的边缘概率密度为f x(x)=（）A． B.2x C. D. 2y3、二维随机变量（X，Y）的联合密度函数是f(x,y)，分布函数为F(x,y)，关于X，Y的边缘分布函数分别是F X(x)，F Y(y),则，，分别为（）A．0，F X(x)，F(x,y) B. 1，F Y(y)，F(x,y)C. f(x,y), F(x,y) , F Y(y)D. 1, F X(x)，F(x,y)4、设随机变量X，Y，独立同分布且X的分布函数为F（x）,则Z=max{X,Y}的分布函数为（）A．F2(z) B. 1，F(x)F(y)C. 1-[1-F(z)]2D. [1-F（x）][1-F（y）]5、设X～N（-1，2），Y～N（1.3），且X与Y相互独立，则X+2Y～（）A．N（1，8） B.N（1，14） C.N（1，22） D. N（1，40）二、填空题1、设X和Y为两个随机变量，且P{X,Y}=，P{X}= P{Y}=,则P{max{X,Y}}=______2、设随机变量Xi～（i=1，2……），且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于_______________3、设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2,所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为__________4、 设随机变量X 与Y 相互独立，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max{X,Y }}=___________5、 设随机变量（X ，Y ）～N （0，22；1，32；0），则P{}=_________三、解答题1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。

我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白球的只数，求X ，Y 的联合分布律。

3. 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

（2）求P {X <1, Y <3}（3）求P (X <1.5) （4）求P (X+Y ≤4)4. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.,00,),(其它yx e y x f y 求边缘概率密度。

5. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f（1）试确定常数c 。

（2）求边缘概率密度。

6. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立。

7. 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。

Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.0,00,21)(y y e y f yY（1）求X 和Y 的联合密度。

（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

8． 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00,)(t t te t f t并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。

9． 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布。

随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

10.（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X , Y )的分布律 （3）求U = min (X , Y )的分布律11. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<<<=+-其它,00,10,),()(y x bey x f y x（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度f X (x )，f Y (y ) （3）求函数U =max (X , Y )的分布函数。

⎰⎰--+---==<≤u u uy x U ee dy dx beu F u 012)(1)1()(,10 ⎰⎰-+--==≥u u y x U e dy dx be u F u 010)(1)(,1第四章 随机变量的数字特征一、选择题1. 设随机变量X ，Y 互相独立，且X ～B （16,0.5），Y ～P （9），则D （X-2Y+1）=（ ） A ．-14 B. 13 C. 40 D. 412. 已知随机变量X 的分布律为且EX=1，则常数x=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 83. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则（X，Y）的协方差Cov（X，Y）= （）A．－ B. 0 C. D.4. 设X是一随机变量，EX=μ，DX=σ2（μ，σ＞0常数），则对任意常数c必有（）A. E（X-c）²=EX²-c²B. E（X-c）²=E（X-μ）²C. E（X-c）²＜E（X-μ）²D. E（X-c）²≥E（X-μ）²5. 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们都不相关，则（）A. X与Y一定独立B. （X，Y）服从二维正态分布C. X与Y未必独立D. X+Y服从一维正态分布二、填空题1. 已知EX=-1，DX=3，则E（3X²-2）= .2. 设X1，，X2，Y均为随机变量，已知Cov（X1，Y）=-1，Cov（X2，Y）=3，则Cov（X1+2X2，Y）= .3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X²的数学期望EX²= .4. 设随机变量X的分布函数为F（x）=则X的数学期望EX= .5. 设随机变量X1，X2，Ｘ３相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令Ｙ＝（X1+X2+X3），则Y²的数学期望等于 .三、解答题1. 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。

每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。

（设诸产品是否是次品是相互独立的。

）2. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。

设X 为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X =3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X )。

3. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X （以分计）是一个连续型随机变量。

其概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤=其他015001500),3000()1500(115000,)1500(1)(22x x x x x f 求E (X )4. 设随机变量X 的分布为 X －2 0 2P k0.40.30.3求 E (X )， E (3X 2+5) 5. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x 求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的数学期望。

(1) 求E (X )，E (Y )。

(2) 设Z=Y/X ，求E (Z )。

(3) 设Z= (X －Y )2，求E (Z )。

7. 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,41)(41x x e x f x工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。

若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。

试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。

8. 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b ）服从均匀分布。

试求圆盘面积的数学期望。

9. 设随机变量X 1，X 2的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--0,00,4)(00,2)(4221x x e x f x x e x f x x 求（1）E (X 1+X 2)，E (2X 1－322X )；（2）又设X 1，X 2相互独立，求E (X 1X 2)10. 将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球。

将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E (X )11. 共有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。

设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。

若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X 的数学期望。

（1）写出X 的分布律，（2）不写出X 的分布律。

12. （1）设随机变量X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )>0，引入新的随机变量（X *称为标准化的随机变量）：)()(*X D X E X X -=验证E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知随机变量X 的概率密度。

⎩⎨⎧<<--=,,020|,1|1)(其它x x x f求X *的概率密度。

13. 设X 为随机变量，C 是常数，证明D (X )<E {(X －C )2 }，对于C ≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X －E (X )]2 }，上式表明E {(X －C )2 }当C =E (X )时取到最小值。

）14. 设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f θx 其中θ>0是常数，求E (X )，D (X )。