第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t < )(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k ≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
则在1，2，3，┄，n 中必存在一个k n 20=，所以 MS=nMn M M M M ++++++032 由M=p k 75321⋅⋅⋅-知2M ，n M M ,,3 必为整数，27530pn M ⋅⋅=显然不是整数，∴MS 不是整数，从而S 不是整数 （2） 令M=)12(7531-⋅⋅-n k 则 SM=121253++-+++n M n M M M ， 由M=)12(7531-⋅⋅-n k 知12,,5,3-n M M M ，而 12)12(753121+-⋅⋅=+-n n n M k 不为整数 ∴SM 不为整数，从而1215131++++=n S 也不是整数第一章 §21． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b由带余除法br r r r q r r r q r r r q r b r bq a n n n n n n n n n n <<<<≤==+=+=+=-++---1111112221110,,,,,∴n r b a =),(。
∴d '|1bq a -1r =， d '|221r q r b =-，┄, d '|),(12b a r q r r n n n n =+=--,即d '是),(b a 的因数。
反过来),(b a |a 且),(b a |b ，若),,(|b a d ''则b d a d |,|''''，所以),(b a 的因数都是b a ,的公因数，从而b a ,的公因数与),(b a 的因数相同。
2． 见本书P2，P3第3题证明。
3． 有§1习题4知：,,,0,,Z t s b Z b a ∈∃≠∈∀使2||,b t t bs a ≤+=。
， 11,t s ∃∴，使,,22||||,2111 b t t t t s b ≤≤+=如此类推知： ;,,12n n n n n n t s t t t s +=∃-- ;,,11111++-+++=∃n n n n n n t s t t t s 且12212||2||2||2||||+--≤≤≤≤≤n n n n n b t t t t 而b 是一个有限数，,N n ∈∃∴使01=+n tn n n n t t t t t t t t t b b a =======∴+)0,(),(),(),(),(),(1211 ，存在其求法为 =---=-=))(,(),(),(1s bs a b bs a bs a b b a612518468,1251()84689719,8468()7971976501,9719()9719,76501(⨯-=-=⨯-=∴4。
证：由P3§1习题4知在（1）式中有 n n n n n n br r r r r 22220112211≤≤≤≤≤<=---+ ，而1≥n r b b nn ≤∴≤∴2,21， 2log log log 2b b n =≤∴，即2log log b n ≤第一章 §31，证：必要性。
若1),(=b a ，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：),(b a bt as =+，1=+∴bt as充分性。
若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。
又因为b b a a b a |),(,|),(，所以)|,(bt as b a + 即1|),(b a 。
又0),(>b a ，1),(=∴b a2．证：设121],,,[m a a a n = ，则),,2,1(|1n i m a i =),,2,1(|||1n i m a i =∴又设221|]|,|,||,[|m a a a n = 则 12|m m 。
反之若2|||m a i ，则2|m a i ，21|m m ∴。
从而21m m =，即],,,[21n a a a =221|]|,|,||,[|n a a a3．证：设（1）的任一有理根为qp，1,1),(>=q q p 。
则 0)()(0111=++++--a qpa qp a qp a n n nn 001111=++++∴---n n n n nn q a pq a q pa p a （2）由n n n n n n q a pq a q pa p a 01111)2(+++=---- ，所以q 整除上式的右端，所以n n p a q |，又1,1),(>=q q p ，所以n n a q p q |,1),(∴=；又由（2）有n n n n n n q a pq a q p a p a 01111-=+++---因为p 整除上式的右端，所以n q a P 0| ，1,1),(>=q q p ，所以n n a p p q |,1),(∴= 故（1）的有理根为qp，且n a q a p |,|0。
假设2为有理数，02,22=-∴=x x ，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是2,1±±，这与2为其有理根矛盾。
故2为无理数。
另证，设2为有理数2=,qp1,1),(>=q q p ，则1),2(),(,2,2222222222>==∴=∴=q p q q p p q qp但由1,1),(>=q q p 知1),(22=q p ，矛盾，故2不是有理数。
第一章 §4 1． 见书后。
2． 解：因为8|848,所以B A A ⨯=⨯==3210349856882798848,|8，又8|856，所以8|B ，C B ⨯=⨯=3212937328， 又4|32，所以4|C ，D C ⨯=⨯=223234334又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，E D ⨯=⨯=23359379， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，39939⨯=E 又3113133133993⨯=⨯=所以3581132=A ；同理有3723171175325000810572266323433⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=。
3．证： ),min(i i i βαγ=，∴i i i i βγαγ≤≤≤≤0,0 ∴ii i ii i i ip p p p βγαγ|,| )2,1(k i = iiiki iki pp αγ∏∏==∴11，iiiki iki pp βγ∏∏==∴11.∴),(|2121b a p p p k k γγγ ，又显然k k p p p b a γγγ 2121|),(∴),(2121b a p p p k k =γγγ，同理可得],[2121b a p p p k k =δδδ ，},max{i i i βαδ=推广.设k k p p p a 11211211βββ =,k k p p p a 22221212βββ =,nk n n k n p p p a βββ 2121,= (其中j p 为质数i a k j ,,,2,1 =为任意n 个正整数0,,,2,1≥=ij n i β ) 则k j a a a p p p ijni ij n k ik i i ,,2,1}{),,,,(m in 1212121 ===≤≤βγγγγk j a a a p p p ijni ij n k ik i i ,,2,1}{],,,,[m ax 1212121 ===≤≤βδδδδ4．证：由),(2121b a p p p k k =γγγ,],[2121b a p p p k k =δδδ ,有==+++k k k p p p b a b a δγδγδγ 221121],[,）（ab p p p k k k =+++βαβαβα 221121从而有),(],[b a abb a =． 5.证：（反证法）设l l n k (2=为奇数）则 ]122)[12(1)2(1212)2(2)1(2222++-+=+=+=+-⋅-⋅⋅ l l l ln kk k k k121)2(12122+=+<+<n l kk，∴12+n 为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂．第一章§52.(i)证:：设m =][α.则由性质II 知1+<≤m m α,所以n nm n nm +<≤α, 所以n nm n nm +<≤][α，所以1][+<≤m nn m α，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，所以][]][[αα==m n n ． (ii}[证一]设1,,2,1,0,1}{-=+<≤n k nk n k α,则k n n k n k +=∴+<≤][][,1}{ααα①当1-≤+n k i 时,][][,11}{ααα=+≤++<+n in i k n i ; ②当n k i ≥+时,1][][,1}{2+=+≥+≥+>αααnin i k n i ; kn k k n n in i n n n n n i n k n i k n i +=++-=+++=+=-+++++∴∑∑∑-=--=---][)1]([])[(][][]1[]1[]1[][10110ααααααααα ][][1ααn n in i =+∴∑-=[证二]令][][)(10αααn n i f n i -+=∑-=,)(]1[]1[)1(10ααααf n n i n f n i ≡+-++=+∑-=)(]1[]1[)1(1ααααf n n i n f n i ≡+-++=+∑-=)(αf ∴是以n1为周期的函数。