第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数
的图象．
1．正弦曲线、余弦曲线
2．“五点法”画图
画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，
只需把y ＝sin x 的图象向________平移π
2个单位长度即可．
知识点归纳：
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
一、选择题
1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π
2
2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π
2
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析
式为( )
A ．－sin x
B ．sin x
C ．－cos x
D ．cos x
3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π
2
]的简图是( )
4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭
⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π
2
个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．
8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．
10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题
11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．
12．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；
(2)y＝sin|x|，x∈R.
能力提升
13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．
14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭
⎫3
2π，0，(2π，1) 3．左 作业设计
1．D 2.B 3.D 4．A [
∵sin x >|cos x |，
∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)
的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫
π4，34π.] 5．D [
作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]
6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．
描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]
7．y ＝－cos x
解析 y ＝sin x 2
π
−−−−−−→向右平移个单位
y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π
2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣
⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2
3π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1
2
，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2
解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．
10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4
解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象知x ∈[π4，5
4
π]．
11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：
X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x
1
1
2
1
描点作图，如图所示．
(2)列表：
X
0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x
－2
－1
－1
－2
描点作图，如图所示．
12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)
－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．
其图象如图所示，
(2)y ＝sin|x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，
13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如
图所示．
结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．
14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin x x ∈[0，π]，
－sin x x ∈(π，2π].
图象如图，
若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。