也有线位移。
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长,
横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于
高阶微量, 可略去不计。
y
F
A
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该
解: 由对称性可知, FA
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
FA
FB
ql 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a) 22 2
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
点的挠度。
y
F
A
挠曲线
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
F
A
C Bx
w(挠度) C1
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f (x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
y
A
挠度符号？
C
B
w
x
C1
B'
挠度
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
y A
转角符号？
C
B
C1
转角
x
B'
转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或
D点的连续条件：
在x = a处, 1＝2, w1＝w2
边界条件:
在x = 0处, w1＝0 在x = l处, w2＝0
FA
a
F
b
FB
A
I
II
B
D
x l
代入方程可解得:
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
将积分常数代入得
梁段I ( 0 x a)
梁段II ( a x l)
转角方程
讨论2: BD段上有无θ=0的点？
当2
w2'
Pb 2LEI
L b
(x
a)2
x2
1 (L2 3
b
2
)
0时，
w2有最大值
FA
a
F
b
FB
AI
II
B
D
x
l
即x2 L
b 2a b
3
但当b a时有：x2 a即x2不在ＤＢ段，
即在DB段无 =0的点。
9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角
条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略 去不计, 且梁的材料在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠 度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。
q
解：该梁上荷载可视为正 A
B C
对称载荷与反称对载荷两
l/2
l/2
种情况的叠加。
q/2
(1) 正对称载荷作用下
A
C
B
5(q 2)l4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A
q/2 C B
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
y
(3) 确定积分常数
A
在x＝0处, w＝0
x
在x＝0处, ＝0
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
梁跨中点的挠度wC。
F B
x
l
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁
的转角方程和挠度方程分别y 为：
w Flx Fx2
EI 2EI
A
F B
w Flx2 Fx3 2EI 6EI
max
x
wma
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(l2 b2 )3
wmax
Fbl2 9 3lEI
0.0642
Fbl 2 EI
梁中点C处的挠度为
wC
w1
|
x
l
2
Fb 48EI
(3l 2
4b2 )
略去b2项, 得
Fbl 2
Fbl 2
wC
16EI
0.0625
EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只 要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨 中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工 程要求的。
a)
积分一次 得转角方 程
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw2
F
b l
x2 2
F(x a)2 2
C2
再积分一 次得挠曲 线方程
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
EIw2
F
b l
x3 6
F(x 6
a)3
C2 x
D2
注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩 项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下 面确定积分常数的工作得到简化。
角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
y
F
A
C Bx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向
x2 ]
0
FA A
a I
F
b II
FB B
x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
D x
l
当a > b时, x1< a, 最大挠度确实在第一段梁中
Fb
wmax
w1 |xx1
9
3lEI
(ห้องสมุดไป่ตู้2 b2 )3
讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？
由x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
1
w1
Fb 2lEI
[1 3
(l 2
b2 )
x2 ]
2
w2
Fb 2lEI
[l b
(x
a)2
x2
1 3
(l 2
b2 )]
挠曲线方程
w1
Fbx 6lEI
[l 2
b2
x2 ]
w2
Fb 6lEI
[l b
(x
a)3
x3
(l 2
b2)x]
将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座 处截面的转角
A
1
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
( lx3 6
x4 12
)
C1x
C2
24EI
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y
A
A
l/2
q wmax B
B x
max
A B
m ql3 24EI
w q (l3 6lx2 4x3)
24EI
在梁跨中点l/2处有最大 挠度值
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
wmax
w
|
x
l
2
5ql4 384EI
例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受
一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转
角方程, 并求其最大挠度和最大转角。
解: 求出梁的支反力为
FA