E xm E xm e

i x
7
E xm E xm e


i x
E xm e it E xm e i x e it E xm e i (t x )
E xm [cos( t x ) i sin(t x )]
i (t x ) it Re E xm e Re E xm e E xm cos(t x )
j e ( r ) Em (r ) Em (r ) e
15
例6-7 P225
将下列场量的复数和瞬时值表达式互换。
（设对t的变化以余弦为基准。）
(1) E ay Eym cos(t x ) az Ezm sin(t x ) (2) H a x H 0 sin( x) sin( kz t ) a

i (t x ) E x r ,t E xm cos(t x ) Re[ E xm e ] Re[ E xm e it ]


8
i (t x ) it E x r ,t E xm cos(t x ) Re[ E xm e ] Re[ E xm e ]
2
§6.6 时谐变电磁场
一、时谐变电磁场量的复数表示法 二、麦克斯韦方程组的复数形式 三、能量密度、坡印廷定理和 坡印廷矢量的复数表示法 四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式
3
§6.6 时谐变电磁场
一、时谐变电磁场量的复数表示法 二、麦克斯韦方程组的复数形式 三、能量密度、坡印廷定理和 坡印廷矢量的复数表示法 四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式
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一、时谐变电磁场量的复数表示法
1、欧拉公式
e cos i sin
容易验证：
i
e e e i1 e i (1 2 ) e i 2 e
i1
i 2
i (1 2 )
5
复数z0的三角形式和指数形式： 三角形式：
z x iy r (cos i sin )
实际中，通常测得的是正弦量的有效值，
以 E (r ) 表示正弦量的有效值，则 j e ( r ) E (r ) E (r )e
式中
（即平方的周期平均值）
所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量之间的 关系为
E m (r ) E (r ) 2

9
令
E m ax E xm a y E ym az E zm

jt E (r , t ) Re[E m e ]
(6-34)
则
(6-35)
E m 称为 E (r , t )的复振幅矢量。 E (r , t )叫瞬时值。
单位复数：
z cos i sin
z x iy re
i
指数形式：
6
jt E (r , t ) Re[E m e ]
(6-35)
E (r , t )：瞬时值。 E m ： E (r , t )的复振幅矢量。
E m a x E xm a y E ym az E zm
i (t y ) E y r ,t E ym cos(t y ) Re[ E yme ] Re[ E ym e it ]
E z r ,t E zm cos(t z ) Re[ E zm e i (t z ) ] Re[ E zm e it ]
第六章 时变电磁场
§6.1 法拉第电磁感应定律 与麦克斯韦第二方程 §6.2 位移电流和全电流定律 §6.3 麦克斯韦方程组 §6.4 分界面上的边界条件 §6.5 坡印亭定理和坡印亭矢量 §6.6 时谐变电磁场 §6.7 波动方程 §6.8 时变场的标量位和矢量位
★ 复数表示法
j t 1 d t j
Em (r ) 2E (r )
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有的书刊将正弦电磁场表示为 则瞬时矢量与复矢量的关系为
E(r , t ) பைடு நூலகம் Em (r ) cos( t e )
j t E (r , t ) Re[Em (r )e ]
无论何种表示方法，
复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且， 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的 方法进行运算。
它是正弦时间函数的振幅。为角频率。
ψe (r ) 为正弦函数的初始相位,它可能是空间的函数。
具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，
或者称为时谐电磁场。
11
正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。
由傅里叶变换的数学方法得知：
任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可
分解为很多正弦函数之和。
而略去时间相位t。那么，对于电场强度可用一个
表示为 (r 与时间无关的复矢量 E ) m
原来的瞬时矢量和复矢量的关系为
j e ( r ) Em (r ) Em (r ) e
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j t E (r , t ) Im[Em (r ) e ]

Re[]表示取 []中的实部， Im[] 表示取 []中的虚部。
10
★ 正弦电磁场 现在我们讨论一种特殊的时变电磁场： 其场强的方向与时间无关，但
其大小随时间的变化规律为正弦函数，即
式中，
E(r , t ) Em (r ) sin(ω t ψe (r ))
Em (r ) 仅为空间函数，
因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。
12
正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷 与电流产生的。因为场与源随时间的变化规律是相 同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。
当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率
的正弦量之间的运算可以采用复数方法，
即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位 e (r )，