因此
D1n D2n
可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。
对于各向同性的线性介质，上式又可写为 1E1n 2E2n 第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律， 只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
l
S2
结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不再适用
于时变场问题
❖ 二、位移电流假说
在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间变 化的电场；
为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了 位移电流假说。他认为：在电容器之间，存在着因变化 的电场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同，量 值与回路中自由电流相等。
E dl C
C
( Ein
Ec ) dl
S
B dS t
E
(Ein
Ec )
Ein
B t
（6-6） （6-7）
♠
当导体回路C 以速度运动 v
时，利用关系式
d dt
t
v
和 B 0 ，可以得到
d
B
dt S B dS S t dS C (B v) dl
（6-8）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运
S
Jc
Jv
t
dS
全电流定律 积分形式
H dS S
S
Jc
Jv
D t
dS
H
Jc
Jv
D t
对上式取散度知 Jc Jv Jd 0
全电流定律 微分形式
S
Jc Jv Jd
dS Leabharlann VJc Jv Jd
dV 0
Ic Iv Id 0
全电流连续性原理：穿过任意封闭曲面的 各类电流之和恒为零，应用于只有传导电
感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。
§6.2 位移电流 ❖ 一、安培环路定律的局限性
l H dl S J dS I
传导电流
以闭合路径L为边界的曲面有无数多个， 取如图所示的两个曲面S1，S2
对S1曲面：
H dl J dS I
l
S1
矛盾
对S2曲面：
H dl J dS 0
麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。
对于不随时间变化的静态场，则 E D H B 0 t t t t
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电 场与磁场不再相关，彼此独立。
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦 克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上 的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比 我们指出的要丰在富简得单多的。形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细 的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律 那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在 的场只与最邻近的刚过去的场发假生使联我系们。已知此处的现在所发生的事件， 藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发 生的事件”。
比值。
解:设电场是正弦变化的，表示为
E Em costex
则位移电流密度为
Jd
D t
r 0 Em
sin tex
其振幅值为
J dm
r0Em
2
106
81
4
1 9109
Em
4.5103 Em
传导电流密度的振幅值为 Jcm Em 4Em
故
Jdm 1.125103 J cm
6.3 麦克斯韦方程
t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
D
S
J
c
t
dS
H dS
S
上式右边应用散度定理可以写为
S H dS V H dV 0
左边为
D
S
J
c
t
dS
Ic
Id
I
0
证毕
【例6-3】 海水的电导率为4S/，m相对介电常数为81 ， 求当频率为1MHz 时，位移电流与传导电流的
由电流连续性方程
S
Jc
dS
dq dt
又 S D dS q
D
dq
S t dS dt
D
S Jc dS
dS S t
D
S (Jc t ) dS 0
D
S (Jc t ) dS 0
传导电流：自由电荷运动形成的电流
位移电流定义：
Jd
D t
由于 D 0E P
Jd
0
E t
流的回路中，则为基尔霍夫电流定律
全电流定律物理意义：随时间变化的电场会激发磁场
对安培环路定律和位移电流的讨论
❖ 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导 电流外，还有位移电流；
❖ 位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激 发起磁场；
❖ 推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场 会激发磁场；
第六章 时变电磁场
6.1 法拉第电磁感应定律 6.2 位移电流 6.3 麦克斯韦方程组 6.4 不同介质分界面上的边界条件 6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 6.6 正弦电磁波 6.7 波动方程
主要内容
本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假说 之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的形式， 再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印廷定理及 波动方程。
的电场分布。故又称 Ein为涡旋电场。
♠ 式（6-5）虽然是对导体回路得到的，但是它对任 意回路（不一定有导体存在）同样成立。
♠ 当磁场随时间的变化率为零时，有 Ein 0 ,这与静 电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。
如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 Ec, 则总电场为 E Ein Ec，这时
动的贡献。当磁场不随时间变化时，有
C
E
dl
d dt
S
B dS
C (v B) dl
（6-9）
比较等式两边，E F v B 。得当导体在磁场中运动时，
q
其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛伦兹
力为 F 。qv显 B然，导体中的感应电场实际上是导
体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说明，
P t
全电流密度： J Jc Jv Jd
运流电流：真空或气体中，带 电粒子的定向运动形成的电流
说明：传导电流和运流电流分别存在于不同媒质中，对 于固体导电媒质，只有传导电流，没有运流电流
❖ 三、安培环路定律广义形式（全电流定律）
全电流密度： J Jc Jv Jd
D
H dl l
B 0
高斯定律
D
S
dS
q
D
积分形式
微分形式
H
l
dl
S
(J
D ) t
dS
E
l
dl
S
B t
dS
B
S
dS
0
D
S
dS
q
H J D t
E B t
B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时
变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散
场。
6.1 法拉第电磁感应定律
一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁
通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一 步的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量 的变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量发生变化
化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。
❖ 1.法拉第电磁感应定律的积分形式
当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间变
化而引起的，时间导数
ddt可以换成时间偏导数
t
，并
且可以移到积分内，故有
C
Ein
dl
S
B dS t
(6-4)
❖ 2. 法拉第电磁感应定律的微分形式
利用斯托克斯公式，C Adl S AdS 并考虑到回路
电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
回顾静态场边界条件
6.4 时变电磁场的边界条件
适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。
第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即
或写成矢量形式
E1t E2t en (E2 E1) 0
❖ 位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法 引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波 的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在， 从而反过来证明了位移电流理论的正确性。
例6-1 计算铜中位移电流密度和传导电流密度的比值。 设铜中电场 E0 sint ，铜电导率 5.8107 S / m , 0
解：铜中传导电流大小为 Jc E E0 sint
铜中位移电流大小为
Jd
D t
E t
E0
cos t
因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为
Jd Jc
2
f 1 109
36
5.8 107
9.6 1019
f
例6-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的 总量为零。
解：根据全电流定律 H J D
时回路中就会产生感应电动势in ，其大小等于磁通
量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通 量