可轻松解出答案.
性质2如果一个函数存在反函数,则原函数与其反函数在各自定义域内具有相同的单调性.
设函数 的定义域为 ,值域为 ,且 为 上的单调增函数,其反函数为 ,求证: 为 上的增函数.
证明取任意 且 ,因为 为增函数,所以 ,即在 上有 使得 .由反函数的定义1得 因为 所以 .综上所述,当 时有 ,故 是 上的增函数.同理可证减函数的情况.
由定理2再判断 是否存在反函数, ,因为 ,所以 ,根据定理2 存在反函数.
定理3函数 存在反函数的充要条件是函数 的映射是一一映射.
这条定理可直接由反函数的定义2得出,这种一一映射的关系可以在函数图像上反映出来.
推论2函数 存在反函数的充要条件是直线 与函数 的图像最多有一个交点.
注5对于推论的理解,可以设 的值域为 ,则当 时, （ 为常数）与 有且仅有一个交点；当 时, 与 没有交点.这条推论的应用可实现数形结合,大量减少代数运算.
（3）对调将 中的 和 直接对调,得到 .再根据步骤(1)的求解,注明其定义域即可.
以上步骤对于求解一次函数、特殊定义域上的二次函数、指数型函数、对数型函数及简单的无理函数、分数函数等的反函数都行之有效,便于掌握,是很基础也很重要的方法.
例题8求下列函数的反函数.
（1） ; （2） ; （3） .
解（1）容易得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 , ,即 ,将 和 直接对调得 的反函数为 .
例题2（2008·高考天津（理））设函数 的反函数为 ,则（ ）.
A. 在其定义域上是增函数,且最大值为1.
B. 在其定义域上是减函数,且最小值为0.
C. 在其定义域上是减函数,且最大值为1.
D. 在其定义域上是增函数,且最小值为0.
解函数 为增函数,由性质2得 也为增函数；由互为反函数的的两个函数的定义域和值域互换, 的定义域为[0,1）,可得 的值域为[0,1）,故 的最小值为0,答案为 .
结论2互为反函数的函数不是增函数,若两函数图像有交点,则交点以直线 为对称轴成对出现；求交点坐标时应解方程组 ,以防漏解.
例题3已知函数 与其反函数的图像没有公共交点,求实数 的取值范围.
解首先容易看出 为其定义域上的增函数,则根据结论1, 与 同解,题目可化为方程 无解,求实数 的取值范围.化简方程得 ,令 解出 .
例题7判断双曲余弦函数 和双曲余切函数 在其定义
域上是否存在反函数.
解双曲余弦函数和双曲余切函数都是初等函数,画出它们的图像分别为:
当 时,直线 与 有两个交点,根据定理3推论双曲余弦函数在定义域 上不存在反函数.对于 ,当 时, 与 没有交点,当 时, 与 有且仅有一个交点,根据定理3推论,双曲余切函数在定义域 上存在反函数.
1.2.3反函数的连续性与可微性
性质 连续函数的反函数也是连续函数.
性质 如果函数 在某区间 上连续、可导且 ,并且存在反函数,那么它的反函数 在对应的区间 内也可导,且有 ,即反函数的导数等于原函数导数的倒数.
证明详细参见参考文献[3].
2 反函数存在性的判定
2.1 反函数存在性判定（一）
并非所有函数都有反函数,对于函数的反函数的存在性的判定,有以下结论:
AbstractTheinverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions.
定理 若函数 的周期为 ,且 在 上存在反函数 ,则其在 上的反函数为 .
证明若 ,则有 ,因为 为周期函数,故 ,由反函数的定义1, ,即 ,将 和 对调得 在 上的反函数为 .
三角函数作为周期函数的一个特例,在数学中的学习中占据极其重要的地位,下面具体介绍三角函数的反函数.
性质4互为反函数的两个函数图像关于直线 对称.
注3（1）理解性质4时应注意,这里的反函数是指经过习惯性改写后的反函数,
即把 , 对调后的反函数；如果不经对调,则原函数 与其反函数 的图像在同一坐标系内是相同的.
（2）一般情况下,原函数与其反函数的解析式是不同的,但也有一些函数外,
即对定义域内的任意 ,都有 ,这样的函数称为自反函数,显然,自反
（2）因为 ,得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 , ,即 ,将 和 直接对调得 的反函数为 .
（3）因为 ,得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 ,由于 ,故 ,所.
3.2 几类特殊函数的反函数的求解
3.2.1周期函数的反函数
一般来说,根据函数的反函数存在性判定定理3,由于周期函数的映射不是一一映射,所以在整个定义域上,周期函数是不存在反函数的,但是,将周期函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数,又由于其周期性,在相关定义域的子集上,其反函数是有一定规律的.
性质3存在反函数的奇函数其反函数仍为奇函数；而偶函数一般不存在反函数,除 外,它的反函数为 .
注2对于偶函数一般不存在反函数的描述和反函数的定义2是吻合的,周期函数和一般偶函数都是一个 值对应多个 值,所以这些函数在其定义域上没有反函数,但是,将函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数.
1.2.2关于反函数图像的性质
定义 对于函数 或者 ,若任意 ,有 （或 ）,那么就出现下述情况:对于集合 中的每个数 ,集合 中有且仅有一个数 ,使得 .如果就让这个数 与 相对应,便立刻得到一个定义在 上的新函数,称为 的的反函数,记作: 或者 .
1.2 反函数的性质
1.2.1反函数的简单性质
由定义1和定义2易得,若函数 存在反函数,则其反函数是唯一的；反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；函数 和 互为反函数.除此之外,函数的反函数还有以下性质:
函数的定义域和值域相等,原函数与反函数图像重合.例如 等函数都是自反函数.
（3）由此性质引出了互为反函数的两个函数图像交点问题,各种情况分类如下:
1)两图像没有交点.例如指数函数 和它的反函数,即对数函数 就没有交点.
2)两图像的交点只在直线 上.例如函数 和它的反函数 图像有两个交点 都在 上.
3)两图像的交点都不在直线 上.例如 和它的反函数 的图像重合,有无数个交点,但交点都不在直线 上.
定理 严格单调函数必存在反函数.
证明设 在数集 上有定义,值域为 ,且 为 上的严格增（减）函数,由函数的定义得: 使得 成立.取 且 ,因为 为 上的严格增（减）函数,所以 即当 时,有 ,这就证明了严格单
调函数必存在反函数.
注4这条定理是充分不必要的,即存在反函数的函数不一定是严格单调的,非
严格单调的函数也可能存在反函数,例如 在整个定义域上不是严格单调的,但它有反函数,且它为自反函数.
Key wordsInverse function Periodic functionExistence theorem of inverse function
引言 函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论.
4)两图像的交点有的在直线 上,有的在直线 外.例如函数 和它的反函数 就有三个交点,一个在直线 上,两个不在其上.由几何画板给出他们的图像如下:
可以清晰地看到三个交点.
总结以上情况,可以归纳出以下两条结论:
结论1互为反函数的增函数,若两函数图像有交点,则交点定在直线 上；求交点坐标可解方程组 或 .
例题4解方程 .
分析若用传统方法将方程化为 ,解这个高次方程将十分困难.此时,我们发现令 ,则 的反函数为 ,上述方程就是求这两个函数图像的交点横坐标,由于两函数为增函数,则可化为 ,解这个方程得 ,因为 ,故 即是原方程 的解.
例题5求 与其反函数的交点坐标.
解首先, 在其定义域上为减函数,故不能用结论1.根据反函数的定义1反解出 ,联立方程 ,解得 ,交点坐标为（0,0）,（1,-1）,（-1,1）.
关键词反函数 周期函数 反函数存在性定理
The Existence and Solution of Inverse Function of Functions
Student majoring inMathematics and applied mathematics Xue Yun
Tutor Wu Xiumei
函数的反函数的存在性及其求法
数学与应用数学专业薛云
指导老师武秀美
摘要反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法.