第一节 轴对称与轴对称图形一、课标导航二、核心纲要1.线段的垂直平分线（中垂线）(1)定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．(3)判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．(4)画法：分别以线段AB 两个端点为圆心，大于AB 21长为半径画弧，两弧交于两点C 、D ，作直线CD ，则直线CD 是线段AB 的垂直平分线（如右图所示）．2．轴对称(1)轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是对称轴．注：①轴对称图形指的是一个图形，它被对称轴分成的两部分互相重合；②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；③对称轴是一条直线．(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．(3)轴对称、轴对称图形的性质①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称．(4)轴对称作图①画图形的对称轴：找出轴对称图形的任意一组对称点，连接对称点，得到一条线段，作这条线段能垂直平分线即可．②画某点关于某直线的对称点过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，在这条直线的另一侧从垂足出发在垂线上截取与已知点到垂足的距离相等的线段，截点就是这点关于该直线的对称点．③画已知图形关于某直线的对称图形画出图形的某些特殊点关于这条直线的对称点，把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．(5)图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴．3．常见的轴对称图形(1)线段：两条对称轴，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在直线：(2)角：一条对称轴，对称轴是角平分线所在直线．(3)圆：无数条对称轴，对称轴是经过圆心的直线．(4)正方形：四条对称轴，对角线所在直线及对边中点连线所在直线．(5)矩形：两条对称轴，对边中点连线所在直线．(6)菱形：两条对称轴，对角线所在直线．(7)等腰三角形：一条对称轴，底边中线（底边高线或顶角平分线）所在直线．(8)等边三形：三条对称轴，三边中线（高线或内角平分线）所在直线．本节重点讲解：两个性质（线段垂直平分线的性质，轴对称及轴对称图形的性质），三个定义（线段垂直平分线的定义，轴对称及轴对称图形）．三、全能突破基 础 演 练1．图13 -1-1所示的四个图案中，轴对称图形的个数是( )．1.A2.B3.C4.D2．如图13 -1-2所示，△ABC 和///C B A ∆关于直线L 对称，下列结论中：;///C B A ABC ∆≅∆①/BAC ∠② ;/AC B ∠=③L 垂直平分;/CC ④直线BC 和//C B 的交点不一定在直线L 上，正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则;,E PB PA EB A ==②若,,FB EA PB PA ==则直线PE 是线段AB 垂直平分线；③若,PB PA =,EB EA =则AB 垂直平分PE ；④若,PB PA =则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；⑤若,EB EA =则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个 数有( )．A.l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．图13 -1-3所示是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是5．如图13 -1-4所示，由5个小正方形组成的图形，请你用三种不同的方法，分别添画一个小正方形，使它成为轴对称图形．6．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成下面表格， 正多边形的边数 3 4 5 6 7对称轴的条数根据上表，猜想正n 边形有 条对称轴．7．根据要求作图，如图13 -1-6所示：(1)作点A 关于点B 的对称点；(2)作点C 关于直线AB 的对称点．能 力 提 升8．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则( )．QB QA PB PA A +>+. QB QA PB PA B +<+.QB QA PB PA C +⋅=+. D ．不能确定9．到平面上三点A 、B 、C 距离相等的点有( )．A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10.如图13 -1-7所示，在△ABC 中，,105=∠A AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，且,BE BC AB =+则 B ∠的度数是( )．45.A o B 60. 50.C 55.D11.如图13 -1-8所示，一平面镜以与水平面成45角固定在水平面上，一个小球以1m/s 的速度沿水平面 向点0匀速滚去，则小球在平面镜中的像是( )．A ．以Im/s 的速度，做竖直向上运动B ．以Im/s 的速度，做竖直向下运动C ．以1.5m/s 的速度运动，且运动路线与地面成045角D ．以2 m/s 的速度，做竖直向下运动12.如图13 -1-9所示，D 是线段AB 、BC 垂直平分线的交点，若,150=∠ABC 则∠ADC 的大小是( )． o A 60. 70.B 75.C 80.D13．在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若=∠=∠EAF BAC 则,11514.如图13 -1-10所示，在△ABC 中，AD ABC ,45 =∠是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于F ，则=∠CAF15．图13 -1-11所示是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子放在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为一方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．16.小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图13 -1-12所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？17．(1)如图13 -1-13所示，已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使,PD PC =且P 到AOB ∠两边的距离相等．(2)有一张矩形纸片ABCD ，如图13 -1-14所示，上面画有一个角的两边m 、n ，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P 的平分线来．18．如图13 -1-15所示，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，ABD cm AE ∆=,3的周长为13cm ，求△ABC 的周长．19.如图13 -1-16所示，在△ABC 中，,,BC AD AC AB ⊥>垂足为点D ，P 为AD 上任一点，求证：-PB.AC AB PC ->20．如图13 -1-17所示，在不等边△ABC 中，AB AC AB ,3,2==的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．(1)若BC 边长为整数，则△AEN 的周长为 . (2)①若,70=∠BAC 则∠EAN 的度数为 ；②若,100 =∠BAC 则∠EAN 的度数为 ；③若,90 =/∠BAC 请直接写出EAN BAC ∠∠与之间的数量关系，并画出相应的图形．21．如图13 -1-18所示，,2,//AD CD BC AD =过点D 作,//AB DE 交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ，延长DE 交BC 于.2,CF CD F =(1)求证：.CD BC =(2)将△BCE 绕点C 顺时针旋转90得到△DCG ，连接EG.求证：CD 垂直平分EG ．(3)延长BE 交CD 于点P ，求证：P 是CD 的中点，中 考 链 接22．(1)（2012．内江）如图13 -1-19所示，在矩形ABCD 中，,5,10==BC AB 点E 、F 分别在AB 、CD上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在长方形ABCD 外部的点11D A 、处，则阴影部分图形的周长为( )．15.A 20.B 25.C 30.D(2)（2012．台湾）图13-1-20(a)所示的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且.2AE BE =分别以BE 、CE 为折线，将点A 、D 向BC 的方向折过去，图13-1-20 (b)为对折后A 、B 、c 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图，若图13-1-20(b)中，,15oAED =∠则BCE ∠的度数为何？( ) 30.A 5.32.B 35.C 5.37.D23.（2012．丽水）图13 -1- 21所示是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在图中所示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )A.① B ．② C ．⑤ D ．⑥巅 峰 突 破24.如果直线21l l 、相交成30的角，交点为0，P 为平面上任意一点，若作点P 关于1l 的对称点1p 是第1次，再作点1p 关于2l 的对称点2p 是第2次，以后继续轮流作关于21l l 、的对称点．那么经过 次后，能回到点P ．25.如图.13 -1- 22所示，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中有与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．26.某台球桌面为图13 -1- 23所示的长方形ABCD ，小球从A 沿45角击出，恰好经过5次碰撞到B 处，则 AD AB :（ ）2:1.A 3:2.B 5:2.C 5:3.D。