【典型例题】
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2-x （2）1
21+-x （3）x x -++21 （4）
4
5++x x （5）1
213-+
-x x
（6）若1)1(-=-x x x x ，
则x 的取值范围是 （7）若1
31
3++=
++x x x x ，则x 的取值范围是 。
书写格式（4）由5+x ≥0且x +4≠0得x ≥－5且x ≠－4∴当x ≥－5且x ≠－4时代数式
4
5++x x 在实数范围内有意
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是
4.
是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
6.
若2004a a -+=，则2
2004a -=_____________．
7．若433+-+
-=
x x y ，则=
+y x
8. 设m 、n 满足3
2
992
2
-+-+
-=
m m m n ，则mn = 。
9. 若m
适合关系式=m 的值．
10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是
11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ）
A 、10<<m
B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二．利用二次根式的性质2
a =|a |=⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)
(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题
1.已知2
33x x +＝－x
3+x ，则（ ）A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0
2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3
-的正确结果是（ ）A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 3.若化简|1-x |-1682
+-x x 的结果为2x-5则x 的取值范围是（）A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4
4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则2
2
2
)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 5. 当-3<x<5时，化简2510962
2
+-+
++x x x x = 。
6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -
7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a
8、把2
1)2(---x x 根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ）。
A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2
三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平
方根的性质及二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =。
） 1.把下列各式化成最简二次根式：
（1）8
33 （2）2
2
4041- （3）
2
255
m （4）224y x x +
2.下列各式中哪些是同类二次根式：
（1）75，27
1，12，2，50
1，3，
10
1；（2）,533c b a 3
2
3
c b a ，
4
c
ab ，a
bc
a
3.计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）4
9123
a a
b ⋅
；（3）
a
c c
b b
a 53654⋅
⋅
（4）
24
182
（5）－5453
21
÷
（6）
)(23
5
2
2c
ab c
b a -
÷
4.计算（1）2505
1122
183
133+
+
-- （2）)254414()3191(
3
3
2
3
y
y
x
x
y y
x x
+-+
5．已知10
182
22=+
+x x x
x
，则x 等于（ ）A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4
6..已知12,12+=-=
y x ，求xy
x y
x y y x 33++++的值。
四．二次根式的分母有理化
1已知：1
32-=
x ，求12
+-x x 的值。
2..已知:x =
2
323,2
323-
+=
+
-y ，求代数式3x 2－5xy +3y 2的值。
3.
2
11+
＋
3
21+
＋
4
31+
＋…＋
100
991+ 4.已知21915-=+-+x x ，试求x x +++1519的值。
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值（ ）A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值 4.若a ，b 为有理数，且8+18+
8
1=a+b 2，则b a
= .
六．二次根式的比较大小 1.比较下列各组里两式的大小；（1）
322005
1和（2）－5566-和 （3）
13151517-
-
和（倒数法）。