2020-2021学年第一学期期末测试人教版八年级数学试题一、选择题（共12小题，每题3分，满分36分）1.4的平方根是（ ）A. ±2B. －2C. 2D. 2 2.若式子-2x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A. 0x ≥B. 0x <C. 2x >D. 2x ≥ 3.下列各等式正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. 326()x x =C. 33()mn mn =D. 842b b b ÷= 4.实数32-的绝对值是（ ）A. 32-B. 23-C. 32+D. 15.下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ）A 23 B. 22 C. 32 D. 31- 6.下列命题是假．命题的是（ ） A. 所有的实数都可用数轴上的点表示B. 等角的补角相等C. 无理数包括正无理数，0，负无理数D. 两点之间，线段最短7.若x -y =3且xy =1，则代数式（1+x ）（y -1）的值等于（ ）A. -3B. 3C. -1D. -58. 如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列说法正确的是（ ）A. AC=BDB. AC ⊥BDC. AO=COD. AB=BC 9.如图，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 是小正方形的顶点，连结AB 、AC ，则∠BAC 的度数为（ ）A 30° B. 45° C. 90° D. 100°10.若x 2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A. -5B. 5C. -2D. 211.如图，已知等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°12.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AD 平分∠BAC ，则点D 到AB 的距离是（ ）A. 32B. 2C. 5D. 1二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13.计算：2(62)2x xy x -÷=___________．14.“对顶角相等”的逆命题是________命题（填真或假）15.小明在纸上随手写下一串数字“1010010001”，则数字“1”出现的频率．．是_________． 16.已知：22416m n -=，m +2n =5，则m -2n =__________．17.如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是_____．18.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．三、解答题（共9小题，满分90分）19.计算：201738(1)2763----÷．20.因式分解：32296a a b ab ++．21先化简，再求值：2(2)(2)(2)x x x +-+-，其中x =-2．22.已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：（1）△ABC ≌△BAD ；（2） OC ＝OD ．23.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、BC 边上，且AE ＝CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．24.某校在八年级（1）班学生中开展对于“我国国家公祭日”知晓情况的问卷调查．问卷调查结果分为A 、B 、C 、D 四类，其中A 类表示“非常了解”；B 类表示“比较了解”；C 类表示“基本了解”；D 类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图．请根据上述信息解答下列问题：（1）该班参与问卷调查的人数有 人；补全条形统计图；（2）求出C 类人数占总调查人数的百分比及扇形统计图中A 类所对应扇形圆心角的度数．25.已知a -b =3，ab =2，解答下列问题：（1）求22a b 的值；（2）若b ＞0，求a 、b 的值．26.如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠C =30°．（1）求证：AB =12AC ；并请你用文字叙述直角三角形的这条性质，把它写在下列横线上： ；（2）利用（1）题所得结论继续解答下列问题：如图2，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =53，∠C =30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连结DE 、EF ．①求证：四边形AEFD 是平行四边形；②当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．27.在四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线．（1）如图1，已知AB =AC =AD ，AB ∥CD ．①若∠ABC =70°，则∠BAC = °，∠CAD = °； ②若AB =4，BC =2，求BD 的长；（2）如图2，已知∠ABD =∠ACD =60°，∠ADB =90°-12∠BDC ，求证：AB =AC ．答案与解析一、选择题（共12小题，每题3分，满分36分）1.4的平方根是（ ）A. ±2B. －2C. 2D. 【答案】A【解析】【详解】4的平方根是±2.选A. 点睛：辨析平方根与算术平方根，开平方与平方2.x 的取值范围是( )A. 0x ≥B. 0x <C. 2x >D. 2x ≥ 【答案】D【解析】【分析】由二次根式的性质可以得到x-2≥0，由此即可求解.【详解】解：依题意得：x-2≥0，∴x ≥2．故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题. 3.下列各等式正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. 326()x x = C 33()mn mn =D. 842b b b ÷= 【答案】B【解析】【详解】解：选项A. 325a a a ⋅= ，错误；选项B. ()623x x =，正确；选项C. ()333mn m n = ，错误；选项D. 844b b b ÷=，错误．故选B ．【点睛】本题考查2222a b a ab b +=++（）；222a b a b （）+≠+； n m n m a a a +⋅=；()nn n ab a b =； n m n m a a a -÷=；()m n mn a a =；灵活应用上述公式的逆用是解题关键．4.2的绝对值是（ ）2 B. 2 2D. 1 【答案】B【解析】【详解】解：2|2=故选B5. ）A. B. C. D. 1 【答案】A【解析】所以选A.点睛：辨析（1）2.（2） 212,2和12是加的关系.6.下列命题是假．命题的是（ ）A. 所有的实数都可用数轴上的点表示B. 等角的补角相等C. 无理数包括正无理数，0，负无理数D. 两点之间，线段最短【答案】C【解析】0不是无理数，所以C 错，选C.7.若x -y =3且xy =1，则代数式（1+x ）（y -1）的值等于（ ）A. -3B. 3C. -1D. -5【答案】A【解析】（1+x ）（y -1）=y-x+xy -1=-3+1-1=-3.选A.8. 如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列说法正确的是（ ）A. AC=BDB. AC ⊥BDC. AO=COD. AB=BC【答案】C【解析】 试题分析：由平行四边形的性质容易得出结论．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ；故选C ．9.如图，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 是小正方形的顶点，连结AB 、AC ，则∠BAC 的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 90°D. 100°【答案】B【解析】 连接BC,由勾股定理知AC=BC =5，AB =10，因为222AC BC AB +=，所以三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ABC =45°.选B.点睛：(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(2)勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.(3)掌握常见勾股数：3,4,5；5,12,13,；6,8,10；8,15,17等.常见三边比例：1:3:2；1:1：2；1:2：5.注：勾股定理一定要在直角三角形内使用，其他的三角形不能使用勾股定理.10.若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )A. -5B. 5C. -2D. 2【答案】C【解析】∵x2+mx-15=（x+3）（x+n），∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，∴3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．11.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，AB BCABD CBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．所以选C.点睛：证明三角形全等的方法：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS). （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .注:S 是边的英文缩写,A 是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA 不能证明三角形的全等.12.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AD 平分∠BAC ，则点D 到AB 的距离是（ ）A. 32B. 2C. 5D. 1【答案】A【解析】AD 平分∠BAC ，CD 长就是D 到AB 的距离，∠C =90°，AC =3，BC =4,∴AB =5， 11622ABC ABD ACD S S S AB CD AC CD ∴=+=⋅+=, ∴5CD +3CD =12,CD =22.所以选A. 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13.计算：2(62)2x xy x -÷=___________．【答案】3x -y ．【解析】()2622x xy x -÷=26222x x xy x ÷-÷=3x -y ． 14.“对顶角相等”的逆命题是________命题（填真或假）【答案】假【解析】【分析】先交换原命题题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【详解】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题.故答案为:假.【点睛】考查命题与定理，写出原命题的逆命题是解题的关键.15.小明在纸上随手写下一串数字“1010010001”，则数字“1”出现的频率．．是_________．【答案】40%．【解析】【详解】解：频率=频数÷总数．数字的总数是10，有4个1，因而1出现的频率是：4÷10×100%=40%．故答案为：40%．【点睛】本题考查频数与频率．16.已知：22416m n-=，m+2n=5，则m-2n=__________．【答案】16 5.【解析】22416m n-=, ∴(m-2n)(m+2n)=16, m+2n=5，∴m-2n=16 5.17.如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．【答案】12【解析】【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1减去对角线的长度．【详解】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度2211+2，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：2．故答案为2．【点睛】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．18.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．【答案】 (1). ①1＜OA ＜4． (2). ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4. (2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD =2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD=1，∴AC •BD=672.三、解答题（共9小题，满分90分）19.计算201738(1)2763-22．【解析】试题分析：利用二次根式的混合运算法则计算.解：原式= 22132-22.20.因式分解：32296a a b ab ++．【答案】2(3)a a b +．【解析】试题分析：先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解.试题解析：解：原式＝()2296a a ab b++ ＝()23a a b +.21.先化简，再求值：2(2)(2)(2)x x x +-+-，其中x =-2．【答案】4x +8，0．【解析】试题分析：利用完全平方公式和平方差公式分别展开，合并同类项，代入求值.试题解析：解：原式＝()22444x x x ++--＝22444x x x ++-+＝48x + .当2x =-时，原式＝48x += ()428⨯-+=0．点睛：(1)完全平方公式：2222a b a ab b ±=±+（）. (2)平方差公式：(a+b )(a-b )=22a b +.(3)常用等价变形：()2222 ,a b b a b a a b -=-=-+=-+ ()33a b b a -=--, ()()b a b a -=--,()22a b a b --=+22.已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：（1）△ABC ≌△BAD ；（2） OC ＝OD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：(1)利用AAS 证明ABC ≌BAD ∆.(2)利用（1）的结论,易得OA=OB,BC=AD,所以OC=OD.试题解析：证明：（1）在ABC ∆和BAD ∆中，∵21C D AB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC ∆≌BAD ∆.（2）∵ABC ∆≌BAD ∆,∴BC AD =,∵12∠=∠,∴OB OA =,BC OB AD OA -=-,∴OC OD =.23.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、BC 边上，且AE ＝CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AD=BC ，∵AE=CF∴AD-AE=BC-CF即DE=BF∴四边形BFDE是平行四边形.24.某校在八年级（1）班学生中开展对于“我国国家公祭日”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”；B类表示“比较了解”；C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图．请根据上述信息解答下列问题：（1）该班参与问卷调查的人数有人；补全条形统计图；（2）求出C类人数占总调查人数的百分比及扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数．【答案】（1）50；（2）108°．【解析】试题分析：（1）用B类的人数除以其所占的百分比可得到样本容量；用样本容量减去A、B、D类的人数可求得C类的人数，进而补全条形统计图；（2）用C类人数除以总人数得到C类人数占总调查人数的百分比；用A类人数除以总人数得到A类所占的百分比，然后乘以360°，即可得出A类所对应扇形圆心角的度数．试题解析：解：（1）该班参与问卷调查的人数有：20÷40%=50（人），C类的人数为：50﹣15﹣20﹣5=10（人），条形统计图补充如下：（2）C类人数占总调查人数百分比是：10÷50=20%，扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数是：15÷50×360°=108°．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25.已知a -b =3，ab =2，解答下列问题：（1）求22a b +的值；（2）若b ＞0，求a 、b 的值．【答案】（1）13；（2）a =32+，b 【解析】试题分析：（1）利用完全平方公式把式子化成已知式子的形式.(2)联立方程组求解.试题解析：（1）a -b =3，ab =2，2222a b a b ab ∴+=-+（）=232213+⨯=. （2）32a b ab -=⎧⎨=⎩， ∴a (a -3)=2,2320a a ∴--=, b ＞0，所以a >0,解得a ，b 26.如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠C =30°．（1）求证：AB =12AC ；并请你用文字叙述直角三角形的这条性质，把它写在下列横线上： ；（2）利用（1）题所得结论继续解答下列问题：如图2，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =C =30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连结DE 、EF ．①求证：四边形AEFD 是平行四边形；②当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②52t=或4．【解析】试题分析：(1)延长AB至P，使BP=AB，连结PC,证明P A=CA ,所以AB=12 AC.(2) ①证明AE,DF平行且相等.②需分类讨论，当∠EDF=90°时，令△AED是直角三角形，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．求t值.当∠EFD=90°时，2AD=AE．求t值.试题解析：（1）证明：延长AB至P，使BP=AB，连结PC,∵∠ABC=90°，∴BC是AP的垂直平分线,∴AC=CP,∵∠C=30°,∴∠A=60°,∴P A=CA,∴12AB AC=,这条性质是：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（2）①在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．②解得AB=5，AC=10当∠EDF =90°时，在Rt △AED 中，∠ADE =∠C =30°，∴AD =2AE ．即10-2t =2t ，52t =， 当∠DEF =90°时，由（2）知EF ∥AD ，∴∠ADE =∠DEF =90°．∵∠A =90°-∠C =60°，∴2AD =AE ，即1102,42t t t -==， 当∠EFD =90°时，此种情况不存在， 综上所述，当52t =或4时，△DEF 为直角三角形． 27.在四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线．（1）如图1，已知AB =AC =AD ，AB ∥CD ．①若∠ABC =70°，则∠BAC = °，∠CAD = °； ②若AB =4，BC =2，求BD 的长； （2）如图2，已知∠ABD =∠ACD =60°，∠ADB =90°-12∠BDC ，求证：AB =AC ．【答案】（1）①40，100；②BD =152）证明见解析．【解析】试题分析：（1）①根据AB=AC,AC=AD ,利用等腰三角形的性质可求∠BAC 和∠CAD ,(2) ②作AH ⊥BC ，CP ⊥A B, DQ ⊥BA ,构造直角三角形BQD,(3)延长CD 至M ，使DM=BD , 证明ADB ∆≅ADM ∆,，所以可以证明AB=AM=AC .试题解析：(1) ①AB=AC, ∠ABC =70°，∴∠BAC =180°-2∠ABC =40°，AC=AD , AB ∥CD,∴∠ACD=40°，所以∠CAD=180°-2∠ACD=100°.②如图，作AH ⊥BC ，CP ⊥A B ，AB =4，BC =2，勾股定理得AH 15∴CP = 152 ， BP = 12 ，AP = 72， 作 DQ ⊥BA ,∵ APC AQD ≅ ∴AQ=AP =72， 利用勾股定理得∴BD = 215 .（2）证明：延长CD 至M ，使DM=BD ,∠ADB =90°-12∠BDC, ∴∠ADB=∠ADM ,又 ∵AD=AD,∴ADB ∆≅ADM ∆,∴∠AMD=∠ABD=∠ACD=60°，AB=AM , ∴AB=AM=AC .。