甘肃省白银市会宁县第一中学2015届高三上学期第二次月考数学（理）试题【满分150分，考试时间120分】第Ⅰ卷 共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1、已知集合{}12≥=x x M ，{}2≤=x x N ，则=N M （ ） A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2) 2、若i 为虚数单位 ，则=+-+-iii 11（ ） A. i 2- B. 0 C. i 21D. i 23、已知向量b a ,满足 ）A ．0B ．5C ．2 4、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π35、下列说法正确的是 （ ）A. 命题“∃x 0∈R，x 02＋x 0＋1<0”的否定是：“∀x ∈R，x 2＋x ＋1>0”; B. “x =－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件; C. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题是：若x 2=1，则x ≠1; D. 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题.6、已知正项组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 6·a 15的最大值为( )．A ．25B ．50C ．100D ．不存在7、已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]t 上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( ) A ．[1,)+∞ B ．[0,2] C ．(,2]-∞ D ．[1,2]8、函数22xy x =-的图像大致是（ ）9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =（ ）A.12-nB.1)23(-nC.1)32(-n D.121-nA ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同12、设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13、已知,m n 是夹角为120的单位向量，向量(1)a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t = .14、由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为15、函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ(0＜φ＜2π)在区间(－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________． 16．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本小题12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝5，a 4＝13.数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋b n ＝3.(1)求数列{a n }及数列{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n ·b n ，试比较c n 与c n ＋1的大小． 19．(本小题12分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值． 20、（本小题满分12分） 已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.21、 (本小题12分) 已知函数f (x )＝x ln x ， (1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在[1，e]上的最小值．(e ＝2.718 28…) 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分，做答时请填写题号。

22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 为点D ,E ， 若102==PB PA .P22题图（1）求证：AB AC 2=;（2）求DE AD ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知正实数b a ,满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ； （2）设函数)0(1)(≠++-=t t x t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使2)(mx f =成立，说明理由。

会宁一中2015届高三第二次月考试卷数学试题【满分150分，考试时间120分】第Ⅰ卷 共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1、已知集合{}12≥=x x M ，{}2≤=x x N ，则=N M （ B ） A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2) 2、若i 为虚数单位 ，则=+-+-iii 11 A A. i 2- B. 0 C. i 21 D. i 23、已知向量b a ,满足 ）DA ．0B ．5C ．2 4，则cos(2)πα-= BA 4、【理科】已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( D )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π35、下列说法正确的是 DA. 命题“∃x 0∈R，x 02＋x 0＋1<0”的否定是：“∀x ∈R，x 2＋x ＋1>0”; B. “x =－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件; C. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题是：若x 2=1，则x ≠1; D. 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题.6、已知正项组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 6·a 15的最大值为( A )．A ．25B ．50C ．100D ．不存在7、函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是 CA. (18，14)B. (14，12)C. (12，1) D. (1，2)7、【理科】已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]t 上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( D ) A ．[1,)+∞ B ．[0,2] C ．(,2]-∞ D ．[1,2]8、函数22xy x =-的图像大致是 A9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = BA.12-nB.1)23(-nC.1)32(-n D.121-nA ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同12、设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( D ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：记h (x )＝f (x )·g (x )．依题意得，h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即h (－x )＝－h (x )，所以函数h (x )是奇函数．当x ＜0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，h (x )是增函数，又h (－3)＝f (－3)·g (－3)＝0，因此，不等式h (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)，即不等式f (x )·g (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)，选D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13、已知,m n 是夹角为120的单位向量，向量(1)a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t = . 3214、曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析 曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝014【理科】由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 15、函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3＋φ(0＜φ＜2π)在区间(－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________． 解析 令－π＋2k π≤x3＋φ≤2k π(k ∈Z )， 得6k π－3π－3φ≤x ≤6k π－3φ，k ∈Z .∵f (x )在(－π，π)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k π－3φ≥π，6k π－3π－3φ≤－π.∴2k π－23π≤φ≤2k π－π3(k ∈Z )．又∵0＜φ＜2π，∴令k ＝1，得43π≤φ≤53π，即实数φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，53π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π316．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．解 (1)∵3sin C cos C －cos 2C ＝12， ∴32sin 2C －12cos 2C ＝1，即sin （2C －π6）＝1，∵0＜C ＜π，∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3.(2)∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0， 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝2a ，①∵c ＝3，由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，② 联立方程①②，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.18．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝5，a 4＝13.数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋b n ＝3.(1)求数列{a n }及数列{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n ·b n ，试比较c n 与c n ＋1的大小． 解 (1)∵a 2＝5，a 4＝13，∴a 4＝a 2＋2d ，即13＝5＋2d .∴d ＝4，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －3.又T n ＋b n ＝3，∴T n ＋1＋b n ＋1＝3， ∴2b n ＋1－b n ＝0，即b n ＋1＝12b n .∵b 1＋b 1＝3，∴b 1＝32， ∴数列{b n }为首项是32，公比是12的等比数列，∴b n ＝32（12）n －1＝32n .(2)c n ＝a n b n ＝3(4n －3)2n ，∴c n ＋1＝3(4n ＋1)2n ＋1， c n ＋1－c n ＝3(4n ＋1)2－3(4n －3)2＝3(－4n ＋7)2. ①当n ＝1时，c n ＋1－c n ＞0，∴c n ＋1＞c n ；②当n ≥2(n ∈N *)时，c n ＋1－c n ＜0，∴c n ＋1＜c n .19．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．19．【理科】(本小题12分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值． 解 由已知，得f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x 2＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，f ′(3)＝3.所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)，即3x －y －8＝0. (2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9，－a －1＝－x －9x＝(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.所以a 的最大值为－7.20、（本小题满分12分） 已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。