1.7.1定积分在几何中的应用
学习目标：
1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。

学习方法：
情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积
问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？
问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？
情境二：利用定积分求平面图形的面积
例1． 计算由两条抛物线2
y x =和2
y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图）
问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？
问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）
解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==2
2x
y x
y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x
y
O A B C
D 2
x y =x
y =2
1
1 -1
-1
4
x
y
O 8
4
2
2
∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ⎰
=
1
dx x ⎰-1
2
1031
0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究：
例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．
问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？
问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？
问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分）
问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去
思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差）
2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。

情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。

解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.
【课堂练习】：
1.计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.
2.计算由曲线x y sin =与x y cos =及2
,0π
==x x 所围平面图形的面积．
3.回到本节开始时赵州桥的问题，如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ，宽为常数b ．求桥拱的面积。

（思路：先将问题数学化，在用求定积分的方法解决。

） 习题设计：
1. .已知曲线()y f x =在x 轴的下方，则由(),y f x =0,1y x ==-和3x =所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( ) （知识点1，易） A ．3
1
()f x dx -⎰ B ．1
3
()f x dx -⎰ C ．13
()f x dx -⎰
D ．3
1
()f x dx -⎰
2若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( )．（知识点1，易）
A ．⎰-b
a dx x g x f )()( B ．
⎰
-b
a
dx x g x f ))()((
C ．
⎰
-b
a
dx x f x g ))()(( D ．
⎰
-b
a
dx x g x f ))()((
3. 已知函数()f x ax b =+，若121
()1f x -=⎰，则()f a 的取值范围是（ ）（知识点3，中） A ．219[
,]212 B ．119
[,]22
C ．219[,]212-
D ．119[,]22- 4. 已知函数bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2 （知识点3，中） （1）求常数a 、b ； （2）求曲线y=f(x)与x 轴所包围的面积。

5. 如图所示，直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值。

（知识点3，难）
h b。